Сила инерции принцип даламбера определение. Как сформулировать принципа даламбера

Методы решения задач механики, которые до сих пор рассматривались, основываются на уравнениях, вытекающих или непосредственно из законов Ньютона, или же из общих теорем, являющихся следствием этих законов. Однако этот путь не является единственным. Оказывается, что уравнения движения или условия равновесия механической системы можно получить, положив в основу вместо законов Ньютона другие общие положения, называемые принципами механики. В ряде случаев применение этих принципов позволяет, как мы увидим, найти более эффективные методы решения соответствующих задач. В этой главе будет рассмотрен один из общих принципов механики, называемый принципом Даламбера.

Найдем сначала выражение принципа для одной материальной точки. Пусть на материальную точку с массой действует система активных сил, равнодействующую которых обозначим и реакция связи N (если точка является несвободной). Под действием всех этих сил точка будет двигаться по отношению к инерциальной системе отсчета с некоторым ускорением а.

Введем в рассмотрение величину

имеющую размерность силы. Векторную величину, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют силой инерции точки.

Тогда оказывается, что движение точки обладает следующим свойством: если в любой момент времени к действующим на точку активным силам и реакции связи присоединить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной, т. е.

Это положение выражает принцип Даламбера для материальной точки. Нетрудно убедиться, что оно эквивалентно второму закону Ньютона и наоборот. В самом деле, второй закон Ньютона для рассматриваемой точки дает Перенося здесь величину та в правую часть равенства и учитывая обозначение (84), придем к соотношению (85). Наоборот, перенося в уравнении (85) величину в другую часть равенства и учитывая обозначение (84), получим выражение второго закона Ньютона.

Рассмотрим теперь механическую систему, состоящую из материальных точек. Выделим какую-нибудь из точек системы с массой . Под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил (в которые входят и активные силы, и реакции связей) точка будет двигаться по отношению к инерциальной системе отсчета с некоторым ускорением Введя для этой точки силу инерции получим согласно равенству (85), что

т. е. что образуют уравновешенную систему сил. Повторяя такие рассуждения для каждой из точек системы, придем к следующему результату, выражающему принцип Даламбера для системы: если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики.

Математически принцип Даламбера для системы выражается векторными равенствами вида (85), которые, очевидно, эквивалентны дифференциальным уравнениям движения системы (13), полученным в § 106. Следовательно, из принципа Даламбера, как и из уравнений (13), можно получить все общие теоремы динамики.

Значение принципа Даламбера состоит в том, что при непосредственном его применении к задачам динамики уравнения движения системы составляются в форме хорошо известных уравнений равновесия; это делает единообразным подход к решению задач и часто упрощает соответствующие расчеты. Кроме того, в соединении с принципом возможных перемещений, который будет рассмотрен в следующей главе, принцип Даламбера позволяет получить новый общий метод решения задач динамики (см. § 141).

Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находящихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любого центра О равны нулю, причем, как показано в § 120, это справедливо для сил, действующих не только на твердое тело но и на любую изменяемую механическую систему.

Тогда на основании принципа Даламбера должно быть:

Введем обозначения:

Величины представляют собою главный вектор и главный момент относительно центра О системы сил инерции. В результате, учитывая, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма их моментов равны нулю, получим из равенств (86):

Применение уравнений (88), вытекающих из принципа Даламбера, упрощает процесс решения задач, так как эти уравнения не содержат внутренних сил. По существу уравнения (88) эквивалентны уравнениям, выражающим теоремы об изменении количества движения и главного момента количеств движения системы, и отличаются от них только по форме.

Уравнениями (88) особенно удобно пользоваться при изучении движения твердого тела или системы твердых тел. Для полного изучения движения любой изменяемой системы этих уравнений будет недостаточно, так же как недостаточно уравнений статики для изучения равновесия любой механической системы (см. § 120).

В проекциях на координатные оси равенства (88) дают уравнения, аналогичные соответствующим уравнениям статики (см. § 16, 30). Чтобы пользоваться этими уравнениями при решении задач, надо знать выражения главного вектора и главного момента сил инерций.

В заключение следует подчеркнуть, что при изучении движения по отношению к инерциальной системе отсчета, которое здесь и рассматривается, силы инерции вводятся только тогда, когда для решения задач применяется принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Основной труд Ж.Л. Даламбера (1717-1783) - "Трактат о динамике» - была опубликована в 1743

Первая часть трактата посвящена построению аналитической статики. Здесь Даламбер формулирует "основные принципы механики", среди которых "принцип инерции", "принцип добавления движений" и "принцип равновесия".

"Принцип инерции" сформулирован отдельно для случая покоя и для случая равномерного прямолинейного движения. "Силой инерции, - пишет Даламбер, т я вместе с Ньютоном называю свойство тела сохранять то состояние, в котором оно находится".

"Принцип добавления движений" представляет собой закон сложения скоростей и сил по правилу параллелограмма. На основе этого принципа Даламбер решает задачи статики.

"Принцип равновесия" сформулировано в виде следующей теоремы: "Если два тела движущихся со скоростями, обратнопропорциональна их массам, имеют противоположные направления, так что одно тело не может двигаться, не сдвигая с места на другое тело, то эти тела будут находиться в состоянии равновесия" . Во второй части «Трактата» Даламбер предложил общий метод составления дифференциальных уравнений движения любых материальных систем, основанный на сведении задачи динамики к статике. Он сформулировал правило для любой системы материальных точек, названное впоследствии "принципом Даламбера", согласно которому приложены к точкам системы силы можно разложить на "действующие", то есть такие, которые вызывают ускорение системы, и "потерянные", необходимые для равновесия системы. Даламбер считает, что силы, которые соответствуют "потерянным" ускорением, образуют такую совокупность, которая никак не влияет на фактическое поведение системы. Иными словами, если к системе приложить только совокупность "потерянных" сил, то система останется в покое. Современная формулировка принципа Даламбера дал М Е. Жуковский в своем "Курсе теоретической механики": "Если в какой-либо момент времени остановить систему, движется, и добавить к ней, кроме ее движущих сил, еще все силы инерции, соответствующие данному моменту времени, то будет наблюдаться равновесие, при этом все силы давления, натяжения и т.д. развивающихся между частями системы при такой равновесии, будут настоящими силами давления, натяжения и т.д. при движении системы в рассматриваемый момент времени ". Следует отметить, что сам Даламбер при изложении своего принципа не прибегал ни к понятию силы (считая, что оно не является достаточно четким, чтобы входить в перечень основных понятий механики), ни тем более к понятию силы инерции. Изложение принципа Даламбера с применением термина "сила" принадлежит Лагранжа, который в своей "Аналитической механике» дал его аналитическое выражение в форме принципа возможных перемещений. Именно Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) и особенно Леонардо Эйлер (1707-1783) видиигралы существенную роль в окончательном превращении механики на аналитическую механику.

Аналитическая механика материальной точки и динамика твердого тела Эйлера

Леонардо Эйлер - один из выдающихся ученых, который внес большой вклад в развитие физико-математических наук в XVIII в. Его творчество поражает проницательностью исследовательской мысли, универсальностью дарования и огромным объемом оставленной научного наследия.

Уже в первые годы научной деятельности в Петербурге (Эйлер приехал в Россию в 1727 г..) Он составил программу грандиозного и всеобъемлющего цикла работ в области механики. Это приложение находится в его двухтомном труде "Механика или наука о движении, изложенная аналитически" (1736). "Механика" Эйлера была первым систематическим курсом ньютоновской механики. Она содержала основы динамики точки - под механикой Эйлер понимал наукучхро движение, в отличие от науки о равновесии сил, или статики. Определяющей чертой "Механики" Эйлера было широкое использование нового математического аппарата - диференциальнотвчй интегрального исчислений. Коротко охарактеризовав основные труды по механике, появившиеся на рубеже XVII-XVIII вв., Эйлер отмечал сын-тетико-геометрический стиль их викладу.що создавал для читателей очень много труда. Именно в такой манере написаны "Начала" Ньютона и более поздняя "Фо-рономия" (1 716) Я. Германа. Эйлер указывает, что работы Германа и Ньютона изложенные "по обычаю древних с помощью синтетических геометрических доказательств" без применения анализа, "только благодаря которому и можно достичь полного понимания этих вещей".

Синтетика-геометрический метод не имел обобщающего характера, а требовал, как правило, индивидуальных построений относительно каждой задачи в отдельности. Эйлер признается, что после изучения "Форономии" и "Начал" он, как ему казалось, "достаточно ясно понял решения многих задач, однако задач, какой-то мере отступают от них, уже решить не мог". Тогда он попытался "выделить анализ по этому синтетического метода и те же предложения для собственной пользы проделать аналитически". Эйлер отмечает, что благодаря этому он значительно лучше понял суть вопроса. Он разработал принципиально новые методы исследования проблем механики, создал ее математический аппарат и блестяще применил его ко многим сложных задач. Благодаря Эйлеру дифференциальная геометрия, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление стали инструментом механики. Метод Эйлера, развитый позднее его преемниками, был однозначным и адекватным предмету.

Работа Эйлера по динамике твердого тела "Теория движения твердых тел" имеет большой вступление из шести разделов, где снова изложены динамику точки. В вступление внесен ряд изменений: в частности, уравнения движения точки записываются с помощью проектирования на оси неподвижных прямоугольных координат (а не на касательную, главную нормаль и нормаль, то есть оси недвижимого природного трехгранника, связанного с точками траектории, как в "Механике") .

Следующий после вступления «Трактат о движении твердых тел" состоит из 19 разделов. В основу трактата положен принцип Даламбера. Коротко остановившись на поступательном движении твердого тела и введя понятие центра инерции, Эйлер рассматривает вращения вокруг неподвижной оси и вокруг неподвижной точки. Здесь представлены формулы для проекций мгновенной угловой скорости, углового ускорения на оси координат, используются так называемые углы Эйлера и т.д. Далее изложены свойства момента инерции, после чего Эйлер переходит собственно к динамике твердого тела. Он выводит дифференциальные уравнения вращения тяжелого тела вокруг его недвижимого центра тяжести при отсутствии, внешних сил и решает их для простого частного случая. Так возникла известная и столь же важна в теории гироскопа задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Эйлер работал также над теорией судостроения, в глазах гидро- и аэромеханики, баллистики, теории устойчивости и теории малых колебаний, небесной механики и др.

Через восемь лет после выхода "Механики" Эйлер обогатил науку первым точной формулировкой принципа наименьшего действия. Формулировка принципа наименьшего действия, которые принадлежали Мопертюи, были еще очень несовершенны. Первое научное формулировка принципа принадлежит Эйлеру. Он сформулировал свой принцип следующим образом: интеграл имеет наименьшее значение для настоящей траектории, если рассматривать

последнюю в группе возможных траекторий, имеющих общие начальное и конечное положение и осуществляются с тем же значением энергии. Эйлер предоставляет своему принципу точного математического выражения и строгого обоснования для одной материальной точки, испытывает действия центральных сил. В течение 1746-1749 pp. Эйлер написал несколько работ о фигурах равновесия гибкой нити, где принцип наименьшего действия были применены к задачам, в которых действуют упругие силы.

Таким образом, к 1744 механика обогатилась двумя важными принципами: принципом Даламбера и принципу наименьшего действия Мопертюи-Эйлера. Опираясь на эти принципы, Лагранж построил систему аналитической механики.

При движении материальной точки её ускорение в каждый момент времени таково, что приложенные к точке заданные (активные) силы, реакции связей и фиктивная Даламберова сила Ф = - та образуют уравновешенную систему сил.

Доказательство. Рассмотрим движение несвободной материальной точки массой т в инерциальной системе отсчета. Согласно основному закону динамики и принципу освобождения от связей имеем:

где F - равнодействующая заданных (активных) сил; N - равнодействующая реакций всех наложенных на точку связей.

Нетрудно преобразовать (13.1) к виду:

Вектор Ф = - та называют Даламберовой силой инерции, силой инерции или просто Даламберовой силой. Далее будем использовать только последний термин.

Уравнение (13.3), выражающее принцип Даламбера в символьной форме, называют уравнением кинетостатики материальной точки.

Легко получить обобщение принципа Даламбера для механической системы (системы п материальных точек).

Для любой к -й точки механической системы выполняется равенство (13.3):

где ? к - равнодействующая заданных (активных) сил, действующих на к -ю точку; N к - равнодействующая реакций связей, наложенных на к-ю точку; Ф к = - та к - Даламберова сила к -й точки.

Очевидно, что если условия уравновешенности (13.4) выполняются для каждой тройки сил F*, N* : , Ф* (к = 1,. .., п ), то и вся система 3п сил

является уравновешенной.

Следовательно, при движении механической системы в каждый момент времени приложенные к ней активные силы, реакции связей и Даламберовы силы точек системы образуют уравновешенную систему сил.

Силы системы (13.5) уже не являются сходящимися, поэтому, как известно из статики (п. 3.4), необходимые и достаточные условия её уравновешенности имеют следующий вид:

Уравнения (13.6) называют уравнениями кинетостатики механической системы. Для расчетов используют проекции этих векторных уравнений на оси, проходящие через моментную точку О.

Замечание 1. Поскольку сумма всех внутренних сил системы, а также сумма их моментов относительно любой точки равны нулю, то в уравнениях (13.6) достаточно учитывать лишь реакции внешних связей.

Уравнения кинетостатики (13.6) обычно используют для определения реакций связей механической системы, когда движение системы задано, а поэтому ускорения точек системы и зависящие от них Далам- беровы силы известны.

Пример 1. Найти реакции опор А и В вала при его равномерном вращении с частотой 5000 об/мин.

С валом жестко связаны точечные массы гп = 0,1 кг, т 2 = 0,2 кг. Известны размеры АС - CD - DB = 0,4 м, h = 0,01 м. Массу вала считать пренебрежимо малой.

Решение. Чтобы воспользоваться принципом Даламбера для механической системы, состоящей из двух точечных масс, укажем на схеме (рис. 13.2) заданные силы (силы тяжести) Gi, G 2 , реакции связей N4, N# и Даламберовы силы Ф|, Ф 2 .

Направления Даламбсровых сил противоположны ускорениям точечных масс т ь т 2у которые равномерно описывают окружности радиуса h вокруг оси АВ вала.

Находим величины сил тяжести и Даламбсровых сил:

Здесь угловая скорость вала со- 5000* л/30 = 523,6 с Проецируя уравнения кинетостатики (13.6) на декартовы оси Ах, Ay , Az , получим условия уравновешенности плоской системы параллельных сил Gi, G 2 , 1Чд, N tf , Ф ь Ф 2:

Из уравнения моментов находим N в = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w „

272 Н, а из уравнения проекции на

ось Ay: N a = -N B +G,+G 2 +Ф,-Ф 2 = 272 + 0,98 +1,96 + 274-548 =0,06 Н.

Уравнения кинетостатики (13.6) можно использовать и для получения дифференциальных уравнений движения системы, если составить их так, что реакции связей исключаются и в результате появляется возможность получить зависимости ускорений от заданных сил.

Если рассматривать систему, которая состоит из нескольких материальных точек, выделяя одну определенную точку с известной массой, то под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил она получает некоторое ускорение по отношению к инерциальной системе отсчета. Среди таких сил могут быть как активные силы, так и реакции связи.

Сила инерции точки - это векторная величина, которая равна по модулю произведению массы точки на ее ускорение. Данную величину иногда упоминают как даламберовскую силу инерции, она направлена противоположно ускорению. В этом случае обнаруживается следующее свойство движущейся точки: если в каждый момент времени прибавить силу инерции к фактически действующим на точку силам, то полученная система сил будет уравновешена. Так можно сформулировать принцип Даламбера для одной материальной точки. Данное утверждение полностью соответствует второму закону Ньютона.

Принципы Даламбера для системы

Если повторить все рассуждения для каждой точки в системе, они приводят к следующему выводу, который выражает принцип Даламбера, сформулированный для системы: если в любой момент времени приложить к каждой из точек в системе, помимо фактически действующих внешних и внутренних сил, то данная система будет находиться в равновесии, поэтому к ней можно применять все уравнения, которые используются в статике.

Если применять принцип Даламбера для решения задач динамики, то уравнения движения системы можно составить в форме известных нам уравнений равновесия. Данный принцип значительно упрощает расчеты и делает подход к решению задач единым.

Применение принципа Даламбера

Следует учитывать, что на движущуюся точку в механической системе действуют только внешние и внутренние силы, которые возникают как результат взаимодействия точек между собой, а также с телами, не входящими в данную систему. Точки движутся с определенными ускорениями под действием всех этих сил. Силы инерции не действуют на движущиеся точки, в противном случае они бы двигались без ускорения или были в покое.

Силы инерции вводятся лишь для того, чтобы составить уравнения динамики при помощи более простых и удобных методов статики. Учитывается также, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма их моментов равна нулю. Использование уравнений, которые вытекают из принципа Даламбера, делает процесс решения задач проще, так как данные уравнения уже не содержат внутренних сил.

Принцип Даламбера позволяет свести процесс составления уравнений динамики к составлению уравнений статики.

Этот принцип, который мы здесь изложим для свободной материальной точки и для точки, движущейся по поверхности или по кривой, применим к любой задаче динамики. Он позволит нам подвести итог всей теории движения точки.

Рассмотрим материальную точку М массы находящуюся под действием сил, равнодействующая которых имеет проекции Уравнения движения этой точки могут быть написаны так:

Будем рассматривать наряду с векторами, представляющими приложенные к точке М силы, вектор с проекциями - Этот вектор, численно равный произведению массы на ускорение и направленный противоположно ускорению, называется силой инерции, хотя это никоим образом не будет силой, приложенной к точке. Тогда уравнения выражают, что геометрическая сумма векторов и равна нулю, или, что в каждый момент времени существует равновесие между силой инерции и силами, действительно приложенными к точке.

Вывод уравнений движения из принципа Даламбера. На основании только что сказанного, для нахождения уравнений движения точки при любых условиях достаточно выразить, что имеет место равновесие между всеми силами, приложенными к точке, и силой инерции. Но это можно сделать методами статики. Можно, например, применить теорему о возможной работе. Для этого нужно различать среди сил, приложенных к точке, силы заданные и реакции связей. Через мы обозначим проекции заданных сил.

Чтобы написать, что существует равновесие между силами, действующими на точку, и силой инерции, достаточно написать, что на

всех возможных перемещениях допускаемых связями, существующими в момент сумма работ заданных сил и силы инерции Равна нулю:

Следует различать три случая:

1°. Свободная точка. произвольны. Если, как в п. 282, применяется произвольная система координат то, заменяя вариациями получим:

где произвольны.

Подставляя в равенство (2) и приравнивая результат нулю при произвольных получим уравнения движения в форме, указанной в п. 282, из которых мы вывели уравнения Лагранжа для свободной точки.

2°. Точка на поверхности. Пусть

есть уравнение поверхности, которая для общности предполагается движущейся. Давая переменному определенное значение, мы видим, что должны удовлетворять условию

выражающему, что возможное перемещение допускается связью, существующей в момент Если, как в п. 263, выразить координаты точки поверхности в функциях двух параметров, то получим