Графическое решение уравнений урок. Решение уравнений, неравенств, систем с помощью графиков функций

Одним из способов решения уравнений является графический способ. Он основан на построении графиков функции и определения точек их пересечения. Рассмотрим графический способ решения квадратного уравнения a*x^2+b*x+c=0.

Первый способ решения

Преобразуем уравнение a*x^2+b*x+c=0 к виду a*x^2 =-b*x-c. Строим графики двух функций y= a*x^2 (парабола) и y=-b*x-c (прямая). Ищем точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут являться решением уравнения.

Покажем на примере: решить уравнение x^2-2*x-3=0.

Преобразуем его в x^2 =2*x+3. Строим в одной системе координат графики функции y= x^2 и y=2*x+3.

Графики пересекаются в двух точках. Их абсциссы будут являться корнями нашего уравнения.

Решение по формуле

Для убедительности проверим это решение аналитическим путем. Решим квадратное уравнение по формуле:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

Значит, решения совпадают.

Графический способ решения уравнений имеет и свой недостаток, с помощью него не всегда можно получить точное решение уравнения. Попробуем решить уравнение x^2=3+x.

Построим в одной системе координат параболу y=x^2 и прямую y=3+x.

Опять получили похожий рисунок. Прямая и парабола пересекаются в двух точках. Но точные значения абсцисс этих точек мы сказать не можем, только лишь приближенные: x≈-1,3 x≈2,3.

Если нас устраивают ответы такой точности, то можно воспользоваться этим методом, но такое бывает редко. Обычно нужны точные решения. Поэтому графический способ используют редко, и в основном для проверки уже имеющихся решений.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема:

>>Математика: Графическое решение уравнений

Графическое решение уравнений

Подытожим наши знания о графиках функций. Мы с вами научились строить графики следующих функций:

у =b (прямую, параллельную оси х);

y = kx (прямую, проходящую через начало координат);

y - kx + m (прямую);

у = х 2 (параболу).

Знание этих графиков позволит нам в случае необходимости заменить аналитическую модель геометрической (графической), например, вместо модели у = х 2 (которая представляет собой равенство с двумя переменными х и у) рассматривать параболу в координатной плоскости. В частности, это иногда полезно для решения уравнений. Как это делается, обсудим на нескольких примерах.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

На этом видеоуроке к изучению предлагается тема «Функция y=x 2 . Графическое решение уравнений». В ходе этого занятия учащиеся смогут познакомиться с новым способом решения уравнений - графическим, который основан на знании свойств графиков функций. Учитель покажет, как можно решить графическим способом функцию y=x 2 .

Тема: Функция

Урок: Функция . Графическое решение уравнений

Графическое решение уравнений основано на знании графиков функций и их свойств. Перечислим функции, графики которых мы знаем:

1) , графиком является прямая линия, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку на оси ординат. Рассмотрим пример: у=1:

При различных значениях мы получаем семейство прямых параллельных оси абсцисс.

2) Функция прямой пропорциональности график данной функции - это прямая, проходящая через начало координат. Рассмотрим пример:

Данные графики мы уже строили в предыдущих уроках, напомним, что для построения каждой прямой нужно выбрать точку, удовлетворяющую ей, а второй точкой взять начало координат.

Напомним роль коэффициента k: при функция возрастает, угол между прямой и положительным направлением оси х острый; при функция убывает, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой. Кроме того, между двумя параметрами k одного знака существует следующее соотношение: при положительных k чем он больше, тем быстрее функция возрастает, а при отрицательных - функция быстрее убывает при больших значениях k по модулю.

3) Линейная функция . При - получаем точку пересечения с осью ординат и все прямые такого вида проходят через точку (0; m). Кроме того, при функция возрастает, угол между прямой и положительным направлением оси х острый; при функция убывает, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой. И конечно величина k влияет на скорость изменения значения функции.

4). Графиком данной функции является парабола.

Рассмотрим примеры.

Пример 1 - графически решить уравнение:

Функции подобного вида мы не знаем, поэтому нужно преобразить заданное уравнение, чтобы работать с известными функциями:

Мы получили в обоих частях уравнения знакомые функции:

Построим графики функций:

Графики имеют две точки пересечения: (-1; 1); (2; 4)

Проверим, правильно ли найдено решение, подставим координаты в уравнение:

Первая точка найдена правильно.

, , , , , ,

Вторая точка также найдена верно.

Итак, решениями уравнения являются и

Поступаем аналогично предыдущему примеру: преобразуем заданное уравнение до известных нам функций, построим их графики, найдем токи пересечения и отсюда укажем решения.

Получаем две функции:

Построим графики:

Данные графики не имеют точек пересечения, значит заданное уравнение не имеет решений

Вывод: в данном уроке мы провели обзор известных нам функций и их графиков, вспомнили их свойства и рассмотрели графический способ решения уравнений.

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Задание 1: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 494, ст.110;

Задание 2: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 495, ст.110;

Задание 3: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 496, ст.110;

На уроке учащиеся продемонстрировали знания и умения программы:

– распознавать виды функции, строить их графики;
– отрабатывали навыки построения квадратичной функции;
– отрабатывали графические способы решения квадратных уравнений, используя метод выделения полного квадрата.

Мне захотелось уделить особое внимание решению задач с параметром, так как ЕГЭ по математике предлагает очень много заданий такого типа.

Возможность применить на уроке такой вид работы дали мне сами ученики, так как они имеют достаточную базу знаний, которые можно углубить и расширить.

Заранее подготовленные учащимися шаблоны позволили экономить время урока. В ходе урока мне удалось реализовать поставленные задачи в начале урока и получить ожидаемый результат.

Использование физкультминутки помогло избежать переутомления учащихся, сохранить продуктивную мотивацию получения знаний.

В целом результатом урока я довольна, но думаю, что есть еще резервные возможности: современные инновационные технологические средства, которыми мы, к сожалению, не имеем возможности пользоваться.

Тип урока: закрепление изученного материала.

Цели урока:

Общеобразовательные и дидактические :
- развивать разнообразные способы мыслительной деятельности учащихся;
- формировать способности самостоятельного решения задач;
- воспитывать математическую культуру учащихся;
- развивать интуицию учащихся и умение пользоваться полученными знаниями.
Учебные цели :
- обобщить ранее изученные сведения по теме «Графическое решение квадратных уравнений»;
- повторить построение графиков квадратичной функции;
- сформировать навыки использования алгоритмов решения квадратичных уравнений графическим методом.
Воспитательные :
- привитие интереса к учебной деятельности, к предмету математики;
- формирование толерантности (терпимости), умения работать в коллективе.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

– Сегодня на уроке мы обобщим и закрепим графическое решение квадратных уравнений различными способами.
В дальнейшем эти навыки нам будут нужны в старших классах на уроках математики при решении тригонометрических и логарифмических уравнений, нахождения площади криволинейной трапеции, а также на уроках физики.

II. Проверка домашней работы

Разберем на доске № 23.5(г).

Решить это уравнение с помощью параболы и прямой.

Решение :

х 2 + х – 6 = 0
Преобразуем уравнение: х 2 = 6 – х
Введем функции:

у = х 2 ; квадратичная функция у = 6 – х линейная,
графиком явл. парабола, графиком явл. прямая,

Строем в одной системе координат графики функций (по шаблону)

Получили две точки пересечения.

Решением квадратного уравнения являются абсциссы этих точек х 1 = – 3, х 2 = 2.

Ответ: – 3; 2.

III. Фронтальный опрос

Что является графиком квадратичной функции?
Скажите алгоритм построения графика квадратичной функции?
Что называется квадратичным уравнением?
Приведите примеры квадратичных уравнений?
Запишите на доске свой пример квадратичного уравнения, Назовите, чему равны коэффициенты?
Что значит решить уравнение?
Сколько способов вы знаете графического решения квадратных уравнений?
В чем заключается графические способы решение квадратных уравнений:

IV. Закрепление материала

На доске решают учащиеся первым, вторым, третьим способами.

Класс решает четвертым

– х 2 + 6х – 5 = 0

Преобразую квадратное уравнение, выделяя полный квадрат двучлена:

– х 2 + 6х – 5 = – (х 2 – 6х + 5) = – (х 2 – 6х + 32 – 9 + 5) = – ((х – 3) 2 – 4) = – (х – 3) 2 + 4

Получили квадратное уравнение:

– (х – 3) 2 + 4 = 0

Введем функцию:

у = – (х 2 – 3) 2 + 4

Квадратичная функция вида у = а (х + L) 2 + m

Графиком явл. парабола, ветви направлены вниз, сдвиг основной параболы по оси Ох в право на 3 ед., по оси Оу вверх на 4 ед., вершина (3; 4).

Строим по шаблону.

Нашли точки пересечения параболы с осью Ох. Абсциссы этих точек явл. решением данного уравнения. х = 1, х = 5.

Давайте посмотрим другие графические решение у доски. Прокомментируйте свой способ решения квадратных уравнений.

1 ученик

Решение :

– х 2 + 6х – 5 = 0

Введем функцию у = – х + 6х – 5, квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вниз, вершина

х 0 = – в/2а
х 0 = – 6/– 2 = 3
у 0 = – 3 2 + 18 = 9; точка (3; 9)
ось симметрии х = 3

Строим по шаблону

Получили точки пересечения с осью Ох, абсциссы этих точек являются решением квадратного уравнения. Два корня х 1 = 1, х 2 = 5

2 ученик

Решение :

– х 2 + 6х – 5 = 0

Преобразуем: – х 2 + 6х = 5

Введем функции: у1 = – х 2 + 6х, у2 = 5, линейная функция, квадратичная функция, графиком графиком явл. прямая у || Ох явл. парабола, ветви направлены вниз, вершина х 0 = – в/2а
х 0 = – 6/– 2 = 3
у 0 = – 3 2 + 18 = 9;
(3; 9).
ось симметрии х = 3
Строим по шаблону
Получили точки пересечения
параболы и прямой, их абсциссы являются решением квадратного уравнения. Два корня х 1 = 1, х 2 = 5
Итак, одно и тоже уравнение можно решать различными способами, а ответ получаться должен один и тот же.

V. Физкультминутка

VI. Решение задачи с параметром

При каких значениях р уравнение х 2 + 6х + 8 = р:
– Не имеет корней?
– Имеет один корень?
– Имеет два корня?
Чем отличается это уравнение от предыдущего?
Правильно, буквой!
Эту букву в дальнейшем мы будем называть параметром, Р .
Пока она вам ни о чем не говорит. Но мы будем в дальнейшем решать различные задачи с параметром.
Сегодня решим квадратное уравнение с параметром графическим методом, используя третий способ с помощью параболы и прямой параллельной оси абсцисс.
Ученик помогает учителю решать у доски.
С чего начнем решать?

Зададим функции:

у 1 = х 2 + 6х + 8 у 2 = р линейная функция,
квадратичная функция, графиком является прямая
графиком явл. парабола,
ветви направлены вниз, вершина

х 0 = – в/2а,
х 0 = – 6/2 = – 3
у 0 = (– 3) 2 + 6(– 3) + 8 = – 1
(– 3; – 1)

Ось симметрии х = 3, таблицу строить не буду, а возьму шаблон у = х 2 и приложу к вершине параболы.
Парабола построена! Теперь надо провести прямую у = р .
– Где надо начертить прямую р , чтобы получить два корня?
– Где надо начертить прямую р , чтобы получить один корень?
– Где надо начертить прямую р , чтобы не было корней?
– Итак, сколько наше уравнение может иметь корней?
– Понравилась задача? Спасибо за помощь! Оценка 5.

VII. Самостоятельная работа по вариантам (5 мин.)

у = х 2 – 5х + 6 у = – х 2 + х – 6

Решить квадратное уравнение графическим способом, выбирая для вас удобный способ. Если кто-то справится с заданием раньше, проверьте свое решение другим способом. За это будет выставляться дополнительная оценка.

VIII. Итог урока

– Чему научились вы на сегодняшнем уроке?
– Сегодня на уроке мы с вами квадратные уравнения решали графическим методом, используя различные способы решения, и рассмотрели графический способ решения квадратного уравнения с параметром!
– Переходим к домашнему заданию.

IХ. Домашнее задание

1. Домашняя контрольная работа на стр. 147, из задачника Мордковича по вариантам I и II.
2. На кружке, в среду, будем решать V-м способом, (гипербола и прямая).

Х. Литература:

1. А.Г. Мордкович . Алгебра-8. Часть 1. Учебник для учащихся образовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2008 г.
2. А.Г. Мордкович, Л.А.Александрова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская . Алгебра – 8. Часть 2. Задачник для учащихся образовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2008 г.
3. А.Г. Мордкович . Алгебра 7-9. Методическое пособие для учителя.М.: Мнемозина, 2004 г.
4. Л.А. Александрова . Алгебра-8. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений./Под ред. А.Г. Мордковича. М.: Мнемозина, 2009 г.

Презентация и урок на тему: "Графическое решение квадратных уравнений"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Степени и корни Функции и графики

Графики квадратичных функций

На прошлом уроке мы научились строить график любой квадратичной функции. С помощью таких функций мы можем решать, так называемые, квадратные уравнения, которые в общем виде записываются следующим образом: $ax^2+bx+c=0$,
$a, b, c$ - любые числа, но $a≠0$.
Ребята, сравните уравнение, записанное выше и это: $y=ax^2+bx+c$.
Они практически идентичны. Отличие в том, что вместо $y$ мы записали $0$, т.е. $y=0$. Как же тогда решить квадратные уравнения? Первое, что приходит на ум, надо построить график параболы $ax^2+bx+c$ и найти точки пересечения этого графика с прямой $y=0$. Существуют и другие способы решения. Рассмотрим их на конкретном примере.

Способы решения квадратичных функций

Пример.
Решить уравнение: $x^2+2x-8=0$.

Решение.
Способ 1. Построим график функции $y=x^2+2x-8$ и найдем точки пересечения с прямой $y=0$. Коэффициент при старшей степени положителен, значит ветви параболы смотрят вверх. Найдем координаты вершины:
$x_{в}=-\frac{b}{2a}=\frac{-2}{2}=-1$.
$y_{в}=(-1)^2+2*(-1)-8=1-2-8=-9$.

Точку с координатами $(-1;-9)$ примем за начало новой системы координат и построим в ней график параболы $y=x^2$.

Мы видим две точки пересечения. Они отмечены черными точками на графике. Мы решаем уравнение относительно х, поэтому надо выбрать абсциссы этих точек. Они равны $-4$ и $2$.
Таким образом, решением квадратного уравнения $x^2+2x-8=0$ являются два корня:$ x_1=-4$ и $x_2=2$.

Способ 2. Преобразуем исходное уравнение к виду: $x^2=8-2x$.
Таким образом мы можем решить это уравнение обычным графическим способом, найдя абсциссы точек пересечения двух графиков $y=x^2$ и $y=8-2x$.
Получили две точки пересечения, абсциссы которых совпадают с полученными в первом способе решениями, а именно: $x_1=-4$ и $x_2=2$.

Способ 3.
Преобразуем исходное уравнение к такому виду: $x^2-8=-2x$.
Построим два графика $y=x^2-8$ и $y=-2x$ и найдем их точки пересечения.
Графиком $y=x^2-8$ является парабола, смещенная на 8 единиц вниз.
Получили две точки пересечения, причем абсциссы этих точек такие же, как и в двух предыдущих способах, а именно: $x_1=-4$ и $x_2=2$.

Способ 4.
Выделим полный квадрат в исходном уравнении: $x^2+2x-8=x^2+2x+1-9=(x+1)^2-9$.
Построим два графика функций $y=(x+1)^2$ и $y=9$. Графиком первой функции является парабола, смещенная на одну единицу влево. График второй функции – это прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через ординату равную $9$.
В очередной раз получили две точки пересечения графиков, причем абсциссы этих точек совпадают с полученными в предыдущих способах $x_1=-4$ и $x_2=2$.

Способ 5.
Разделим исходное уравнение на х: $\frac{x^2}{x}+\frac{2x}{x}-\frac{8}{x}=\frac{0}{x}$.
$x+2-\frac{8}{x}=0$.
$x+2=\frac{8}{x}$.
Решим это уравнение графически, построим два графика $y=x+2$ и $y=\frac{8}{x}$.
Опять получили две точки пересечения, причем абсциссы этих точек совпадают с полученными выше $x_1=-4$ и $x_2=2$.

Алгоритм графического решения квадратичных функций

Ребята, мы рассмотрели пять способов графического решения квадратных уравнений. В каждом из этих способов корни уравнений получились одинаковыми, что значит решение получено верное.

Основные способы графического решения квадратных уравнений $ax^2+bx+c=0$, $a, b, c$ - любые числа, но $a≠0$:
1. Построить график функции $y=ax^2+bx+c$, найти точки пересечения с осью абсцисс, которые и будут решением уравнения.
2. Построить два графика $y=ax^2$ и $y=-bx-c$, найти абсциссы точек пересечения этих графиков.
3. Построить два графика $y=ax^2+c$ и $y=-bx$, найти абсциссы точек пересечения этих графиков. Графиком первой функции будет парабола, смещенная либо вниз либо вверх, в зависимости от знака числа с. Второй график – прямая, проходящая через начало координат.
4. Выделить полный квадрат, то есть привести исходное уравнение к виду: $a(x+l)^2+m=0$.
Построить два графика функции $y=a(x+l)^2$ и $y=-m$, найти их точки пересечения. Графиком первой функции будет парабола, смещенная либо влево, либо вправо, в зависимости от знака числа $l$. Графиком второй функции будет прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в точке равной $-m$.
5. Разделить исходное уравнение на х: $ax+b+\frac{c}{x}=0$.
Преобразовать к виду: $\frac{c}{x}=-ax-b$.
Опять построить два графика и найти точки их пересечения. Первый график – гипербола, второй график – прямая. К сожалению, графический метод решения квадратных уравнений не всегда является хорошим способом решения. Точки пересечения различных графиков не всегда являются целыми числами или могут иметь в абсциссе (ординате) очень большие числа, которые не построить на обычном листе бумаги.

Более наглядно продемонстрируем все эти способы на примере.

Пример.
Решить уравнение: $x^2+3x-12=0$,

Решение.
Построим график параболы и найдем координаты вершин: $x_{в}=-\frac{b}{2a}=\frac{-3}{2}=-1,5$.
$y_{в}=(-1,5)^2+2*(-1,5)-8=2,25-3-8=-8,75$.
При построении такой параболы сразу возникают проблемы, например, чтобы правильно отметить вершину параболы. Для того, чтобы точно отметить ординату вершины нужно выбрать одну клеточку, равную 0,25 единиц масштаба. При таком масштабе нужно спуститься на 35 единиц вниз, что неудобно. Все таки построим наш график.
Вторая проблема с которой мы сталкиваемся, это то, что график нашей функции пересекает ось абсцисс в точке с координатами, которые точно определить невозможно. Возможно приблизительное решение, но математика - это точная наука.
Таким образом, графический метод оказывается не самым удобным. Поэтому для решений квадратных уравнений требуется более универсальный метод, который мы изучим на следующих уроках.