Радиус вписанной в четырехугольник. Вписанный и описанный четырехугольники и их свойства - материалы для подготовки к егэ по математике

Четырехугольник является вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Такая окружность является описанной около четырехугольника.

Как не каждый четырехугольник можно описать около окружности, также не каждый можно вписать в окружность.

Выпуклый четырехугольник, вписанный в окружность, обладает свойством: его противоположные углы в сумме составляют 180° . Так, если дан четырехугольник ABCD, у которого угол A противоположен углу C, а угол B противоположен углу D, то ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.

Вообще, если одна пара противоположных углов четырехугольника в сумме составляет 180°, то и другая пара в сумме будет составлять столько же. Это следует из того, что у выпуклого четырехугольника сумма углов всегда равна 360°. В свою очередь данный факт следует из того, что у выпуклых многоугольников сумма углов определяется по формуле 180° * (n – 2), где n - количество углов (или сторон).

Доказать свойство вписанного четырехугольника можно следующим образом. Пусть в окружность O вписан четырехугольник ABCD. Требуется доказать, что ∠B + ∠D = 180°.

Угол B является вписанным в окружность. Как известно, такой угол равен половине дуги, на которую опирается. В данном случае угол B опирается на дугу ADC, значит, ∠B = ½◡ADC. (Поскольку дуга равна углу между образующими ее радиусами, то можно записать, что ∠B = ½∠AOC, внутренняя область которого содержит точку D.)

С другой стороны угол D четырехугольника опирается на дугу ABC, то есть ∠D = ½◡ABC.

Так как стороны углов B и D пересекают окружность в одних и тех же точках (A и C), то они разделяют окружность только на две дуги - ◡ADC и ◡ABC. Так как полная окружность в сумме составляет 360°, то ◡ADC + ◡ABC = 360°.

Таким образом получились следующие равенства:

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

Выразим сумму углов:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

Вынесем ½ за скобку:

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

Заменим сумму дуг их числовым значением:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

Мы получили, что сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Это и требовалось доказать.

То, что вписанный четырехугольник обладает таким свойством (сумма противоположных углов равна 180°), еще не означает, что любой четырехугольник, у которого сумма противоположных углов равна 180° можно вписать в окружность. Хотя на самом деле это так. Данный факт называется признаком вписанного четырехугольника и формулируется так: если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность (или вписать его в окружность) .

Доказать признак вписанного четырехугольника можно методом от противного. Пусть дан четырехугольник ABCD, у которого противоположные углы B и D в сумме составляют 180°. При этом угол D не лежит на окружности. Тогда возьмем на прямой, содержащей отрезок CD, такую точку E, чтобы она лежала на окружности. Получится вписанный четырехугольник ABCE. У этого четырехугольника противоположны углы B и E, а, значит, они составляют в сумме 180°. Это следует из свойства вписанного четырехугольника.

Получается, что ∠B + ∠D = 180° и ∠B + ∠E = 180°. Однако угол D четырехугольника ABCD по отношению к треугольнику AED является внешним, а значит больше угла E этого треугольника. Таким образом, мы пришли к противоречию. Значит, если сумма противоположных углов четырехугольника в сумме составляет 180°, то он всегда может быть вписан в окружность.

Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

Центр описанной окружности

Теорема. Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечениясерединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

Центр Вписанная окружность

Определение . Вписанная в выпуклый многоугольник окружность - это окружность, которая касается всех сторон этого многоугольника (то есть каждая из сторон многоугольника является для окружностикасательной).

Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника.

Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным.

В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке.

Центр вписанной в многоугольник окружности - точка пересечения его биссектрис.

Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности По свойству касательных, проведённых из одной точки, любая вершина описанного многоугольника равноудалена от точек касания, лежащих на сторонах, выходящих из этой вершины.

В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности называется инцентром.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. В частности, в трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Около любого правильного многоугольника можно также описать окружность. Центр вписанной и описанной окружностей лежат в центре правильного многоугольника.

Для любого описанного многоугольника радиус вписанной окружности может быть найден по формуле

Где S - площадь многоугольника, p - его полупериметр.

Правильный n-угольник - формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 3√3

7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности: a = R

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 2√3

7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

S =	R 2 3√3

8. Угол между сторонами правильного шестиугольника: α = 120°

Значение числа (произносится «пи» ) - математическая константа, равная отношению

длины окружности к длине её диаметра, оно выражается бесконечной десятичной дробью.

Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Чему равно число пи? В простых случаях хватает знать первые 3 знака (3,14).

53. Найдем длину дуги окружности радиуса R, отвечающей центральному углу в n°

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.

Градусная мера угла в 1 радиан равна:

Так как дуга длиной π R (полуокружность), стягивает центральный угол в 180° , то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.

И наоборот

Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°

Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна

И наоборот

Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.

Например, 360° = 2π рад, пишут 360° = 2π

В таблице указаны наиболее часто встречающиеся углы в градусной и радианной мере.

Выпуклый четырёхугольник A B C D {\displaystyle \displaystyle ABCD} является вписанным тогда и только тогда , когда противоположные углы в сумме дают 180°, то есть .

A + C = B + D = π = 180 ∘ . {\displaystyle A+C=B+D=\pi =180^{\circ }.}

Теорема была Предложением 22 в книге 3 Евклида Начала . Эквивалентно, выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда смежный угол равен противоположному внутреннему углу.

p q = a c + b d . {\displaystyle \displaystyle pq=ac+bd.}

Если две прямые, из которых одна содержит отрезок AC , а другая - отрезок BD , пересекаются в точке P , то четыре точки A , B , C , D лежат на окружности тогда и только тогда, когда

A P ⋅ P C = B P ⋅ P D . {\displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.}

Точка пересечения P может лежать как внутри, так и вне окружности. В первом случае это будет вписанный четырёхугольник ABCD , а во втором - вписанный четырёхугольник ABDC . Если пересечение лежит внутри, равенство означает, что произведение отрезков, на которые точка P делит одну диагональ, равно произведению отрезков другой диагонали. Это утверждение известно как теорема о пересекающихся хордах , поскольку диагонали вписанного четырёхугольника являются хордами описанной окружности.

Выпуклый четырёхугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда

tan ⁡ A 2 tan ⁡ C 2 = tan ⁡ B 2 tan ⁡ D 2 = 1. {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}\tan {\frac {C}{2}}=\tan {\frac {B}{2}}\tan {\frac {D}{2}}=1.}

Площадь

S = (p − a) (p − b) (p − c) (p − d) {\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}

Вписанный четырёхугольник имеет максимальную площадь среди всех четырёхугольников, имеющих ту же последовательность длин сторон. Это другое следствие соотношения Бретшнайдера. Утверждение можно доказать с помощью математического анализа .

Четыре неравные длины, каждая из которых меньше суммы остальных трёх, являются сторонами трёх неконгруэнтных вписанных четырёхугольников , и по формуле Брахмагупты все эти треугольники имеют одинаковую площадь. В частности, для сторон a , b , c и d сторона a может быть противоположной любой из сторон b , c или d . Любые два из этих трёх вписанных четырёхугольников имеют диагональ одинаковой длины .

Площадь вписанного четырёхугольника с последовательными сторонами a , b , c , d и углом B между сторонами a и b можно выразить формулой

S = 1 2 (a b + c d) sin ⁡ B {\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}} S = 1 2 (a c + b d) sin ⁡ θ {\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}

где θ - любой угол между диагоналями. Если угол A не является прямым, площадь можно выразить формулой

S = 1 4 (a 2 − b 2 − c 2 + d 2) tan ⁡ A . {\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.} S = 2 R 2 sin ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ θ {\displaystyle S=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }} S ≤ 2 R 2 {\displaystyle S\leq 2R^{2}} ,

и неравенство превращается в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник является квадратом.

Диагонали

С вершинами A , B , C , D (в указанной последовательности) и сторонами a = AB , b = BC , c = CD и d = DA длины диагоналей p = AC и q = BD можно выразить через стороны

p = (a c + b d) (a d + b c) a b + c d {\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}} q = (a c + b d) (a b + c d) a d + b c {\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}} p q = a c + b d . {\displaystyle pq=ac+bd.}

Согласно второй теореме Птолемея ,

p q = a d + b c a b + c d {\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}}

при тех же обозначениях, что и прежде.

Для суммы диагоналей имеем неравенство

p + q ≥ 2 a c + b d . {\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.}

Неравенство становится равенством в том и только в том случае, когда диагонали имеют одинаковую длину, что можно показать, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим .

(p + q) 2 ≤ (a + c) 2 + (b + d) 2 . {\displaystyle (p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.}

В любом выпуклом четырёхугольнике две диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника. Во вписанном четырёхугольнике противоположные пары этих четырёх треугольников подобны .

Если M и N являются средними точками диагоналей AC и BD , то

M N E F = 1 2 | A C B D − B D A C | {\displaystyle {\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|}

где E и F - точки пересечения противоположных сторон.

Если ABCD - вписанный четырёхугольник и AC пересекает BD в точке P , то

A P C P = A B C B ⋅ A D C D . {\displaystyle {\frac {AP}{CP}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.}

Формулы углов

a , b , c , d , полупериметром s и углом A между сторонами a и d тригонометрические функции угла A равны

cos ⁡ A = a 2 + d 2 − b 2 − c 2 2 (a d + b c) , {\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}},} sin ⁡ A = 2 (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) (a d + b c) , {\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},} tan ⁡ A 2 = (s − a) (s − d) (s − b) (s − c) . {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.}

Для угла θ между диагоналями выполняется

tan ⁡ θ 2 = (s − b) (s − d) (s − a) (s − c) . {\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.}

Если продолжения противоположных сторон a и c пересекаются под углом ϕ {\displaystyle \phi } , то

cos ⁡ ϕ 2 = (s − b) (s − d) (b + d) 2 (a b + c d) (a d + b c) {\displaystyle \cos {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}

Формула Парамешвара

Для вписанного четырёхугольника со сторонами a , b , c , d (в указанной последовательности) и полупериметром s радиус описанной окружности) задаётся формулой

R = 1 4 (a b + c d) (a c + b d) (a d + b c) (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) . {\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}

Формула была выведена индийским математиком Ватассери Парамешвара в 15 веке.

Если диагонали вписанного четырёхугольника пересекаются в точке P , а середины диагоналей - V и W , то антицентр четырёхугольника является ортоцентром треугольника VWP , а вершинный центроид находится в середине отрезка, соединяющего середины диагоналей .

Во вписанном четырёхугольнике "центроид площади" G a , "центроид вершин" G v и пересечение P диагоналей лежат на одной прямой. Для расстояний между этими точками выполняется равенство

P G a = 4 3 P G v . {\displaystyle PG_{a}={\tfrac {4}{3}}PG_{v}.}

Другие свойства

• Во вписанном четырёхугольнике ABCD с центром описанной окружности O пусть P - точка пересечения диагоналей AC и BD . Тогда угол APB является средним арифметическим углов AOB и COD . Это является прямым следствием теоремы о вписанном угле и теоремы о внешнем угле треугольника .

• Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон, образующие арифметическую прогрессию , то четырёхугольник является также внешне описанным .

Четырёхугольники Брахмагупты

Четырёхугольник Брахмагупты - это вписанный четырёхугольник с целочисленными длинами сторон, целочисленными длинами диагоналей и целочисленной площадью. Все четырёхугольники Брахмагупты со сторонами a, b, c, d , диагоналями e, f , площадью S, и радиусом описанной окружности R можно получить путём избавления от знаменателя в следующих выражениях (при рациональных параметрах t , u и v ):

a = [ t (u + v) + (1 − u v) ] [ u + v − t (1 − u v) ] {\displaystyle a=} b = (1 + u 2) (v − t) (1 + t v) {\displaystyle b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)} c = t (1 + u 2) (1 + v 2) {\displaystyle c=t(1+u^{2})(1+v^{2})} d = (1 + v 2) (u − t) (1 + t u) {\displaystyle d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)} e = u (1 + t 2) (1 + v 2) {\displaystyle e=u(1+t^{2})(1+v^{2})} f = v (1 + t 2) (1 + u 2) {\displaystyle f=v(1+t^{2})(1+u^{2})} S = u v [ 2 t (1 − u v) − (u + v) (1 − t 2) ] [ 2 (u + v) t + (1 − u v) (1 − t 2) ] {\displaystyle S=uv} 4 R = (1 + u 2) (1 + v 2) (1 + t 2) . {\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).}

Свойства ортодиагональных вписанных четырёхугольников

Площадь и радиус описанной окружности

Пусть для вписанного четырёхугольника, являющегося также ортодиагональным (т.е. имеющим перпендикулярные диагонали), пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длиной p 1 и p 2 , а другую делит на отрезки длиной q 1 и q 2 . Тогда (первое равенство является Предложением 11 в книге Архимеда «Леммы »)

D 2 = p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2 {\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}} ,

где D -

или, через стороны четырёхугольника

R = 1 2 a 2 + c 2 = 1 2 b 2 + d 2 . {\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}

Отсюда также следует, что

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 8 R 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}

Таким образом, согласно формуле Эйлера , радиус можно выразить через диагонали p и q и расстояние x между серединами диагоналей

R = p 2 + q 2 + 4 x 2 8 . {\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.}

Формула для площади K вписанного ортодиагонального четырёхугольника можно получить непосредственно через стороны, если скомбинировать теорему Птолемея (см. выше) и формулу площади ортодиагонального четырёхугольника. В результате получим

Литература

• Claudi Alsina, Roger Nelsen. When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Сhapter 4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals. - Mathematical Association of America, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9 .
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. On the diagonals of a cyclic quadrilateral // Forum Geometricorum. - 2007. - Т. 7 .
• Nathan Altshiller-Court. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. - 2nd. - Courier Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2 . (org. 1952)
• =Titu Andreescu, Bogdan Enescu. .
• Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometry Revisited. 3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta"s formula. - Mathematical Association of America, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2 . Перевод Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. 3.2 Вписанные четырёхугольники; Теорема Брахмагупты. - Москва: «Наука», 1978. - (Библиотека математического кружка).
• Crux Mathematicorum. Inequalities proposed in Crux Mathematicorum . - 2007.
• D. Fraivert. The theory of an inscribable quadrilateral and a circle that forms Pascal points // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - Т. 42 . - P. 81–107. - DOI :10.18642/jmsaa_7100121742 .
• C. V. Durell, A. Robson. Advanced Trigonometry. - Courier Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8 . (orig. 1930)
• Mowaffaq Hajja. A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. - 2008. - Т. 8 .
• Larry Hoehn. Circumradius of a cyclic quadrilateral // Mathematical Gazette. - 2000. - Т. 84 , вып. 499 March .
• Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. - Cambridge University Press, 1995. - Т. 37. - (New Mathematical Library). - ISBN 978-0-88385-639-0 .
• Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. - Dover Publ, 2007. (orig. 1929)
• Thomas Peter. Maximizing the area of a quadrilateral // The College Mathematics Journal. - 2003. - Т. 34 , вып. 4 September .
• Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Challenging Problems in Geometry. - 2nd. - Courier Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1 . Глава: Solutions: 4-23 Prove that the sum of the squares of the measures of the segments made by two perpendicular chords is equal to the square of the measure of the diameter of the given circle.

• , Перевод с русского издания В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Учебное пособие. - 5-е. - Москва: МЦНМО OAO «Московские учебники», 2006. - ISBN 5-94057-214-6

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

• В евклидовой геометрии , вписанный четырехугольник - это четырехугольник, у которого все вершины лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной окружностью четырехугольника, а вершины, как говорят, лежат на одной окружности. Центр этой окружности и ее радиус называются соответственно центром и радиусом описанной окружности. Другие термины для этого четырехугольника: четырехугольник лежит на одной окружности , стороны последнего четырехугольника являются хордами окружности. Обычно предполагается, что выпуклый четырехугольник является выпуклым четырехугольником. Формулы и свойства, приведенные ниже, действительны в выпуклом случае.
• Говорят, что если около четырёхугольника можно описать окружность , то четырёхугольник вписан в эту окружность , и наоборот.

Общие критерии вписанности четырехугольника

• Около выпуклого четырёхугольника $\backslash pi$ радиан), то есть:

$\backslash angle\; A+\backslash angle\; C\; =\; \backslash angle\; B\; +\; \backslash angle\; D\; =\; 180^\backslash circ$

или в обозначениях рисунка:

$\backslash alpha\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash beta\; +\; \backslash delta\; =\; \backslash pi\; =\; 180^\{\backslash circ\}.$

• Можно описать окружность около любого четырехугольника, у которого пересекаются в одной точке четыре серединных перпендикуляра его сторон (или медиатрисы его сторон, то есть перпендикуляры к сторонам, проходящие через их середины).
• Можно описать окружность около любого четырехугольника, у которого один внешний угол, смежный с данным внутренним углом , точно равен другому внутреннему углу, противолежащему данному внутреннему углу . По сути это условие есть условие антипараллельности двух противоположных сторон четырехугольника. На рис. ниже показан внешний и смежный с ним внутренний углы зеленого пятиугольника.

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• Пересечение X может быть внутренним или внешним по отношению к кругу. В первом случае получим вписанный четырехугольник является ABCD , а в последнем случае получим вписанный четырехугольник ABDC . При пересечении внутри круга, равенство гласит, что произведение длин сегментов, в котором точка X делит одну диагональ, равна произведению длин сегментов, в котором точка X делит другую диагональ. Это условие известно, как "теорема о пересекающихся хордах". В нашем случае диагонали вписанного четырехугольника являются хордами окружности.
• Еще один критерий вписанности. Выпуклый четырехугольник ABCD вписан круг тогда и только тогда, когда

$\backslash tan\{\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}\backslash tan\{\backslash frac\{\backslash gamma\}\{2\}\}=\backslash tan\{\backslash frac\{\backslash beta\}\{2\}\}\backslash tan\{\backslash frac\{\backslash delta\}\{2\}\}=1.$

Частные критерии вписанности четырехугольника

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник является выпуклым . Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° ($\backslash pi$ радиан). Можно описать окружность около:

• любого антипараллелограмма
• любого прямоугольника (частный случай квадрат)
• любой равнобедренной трапеции
• любого четырехугольника, у которого два противоположных угла прямые.

Свойства

Формулы с диагоналями

$ef=ac+bd$; $\backslash frac\{e\}\{f\}\; =\; \backslash frac\{a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c\}\{a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d\}.$

В последней формуле пары смежных сторон числителя a и d , b и c опираются своими концами на диагональ длиной e . Аналогичное утверждение имеет место для знаменателя.

• Формулы для длин диагоналей (следствия ):

$e\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(ac+bd)(ad+bc)\}\{ab+cd\}\}$ и $f\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(ac+bd)(ab+cd)\}\{ad+bc\}\}$

Формулы с углами

Для вписанного четырехугольника с последовательностью сторон a , b , c , d , с полупериметром p и углом A между сторонами a и d , тригонометрические функции угла A даются формулами

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac\{a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2\}\{2(ad\; +\; bc)\},$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac\{2\backslash sqrt\{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\}\}\{(ad+bc)\},$ $\backslash tan\; \backslash frac\{A\}\{2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(p-a)(p-d)\}\{(p-b)(p-c)\}\}.$

Угол θ между диагоналями есть :p.26

$\backslash tan\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(p-b)(p-d)\}\{(p-a)(p-c)\}\}.$

• Если противоположные стороны a и c пересекаются под углом φ , то он равен

$\backslash cos\{\backslash frac\{\backslash varphi\}\{2\}\}=\backslash sqrt\{\backslash frac\{(p-b)(p-d)(b+d)^2\}\{(ab+cd)(ad+bc)\}\},$

где p есть полупериметр . :p.31

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника

Формула Парамешвара (Parameshvara)

Если четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d и полупериметром p вписан окружность, то ее радиус равен по формуле Парамешвара :p. 84

$R=\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)\}\{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\}\}.$

Она была получена индийским математиком Парамешваром в 15 веке (ок. 1380–1460 гг.)

• Выпуклый четырёхугольник (см. рис. справа), образованный четырьмя данными прямыми Микеля , вписан в окружность тогда и только тогда, когда точка Микеля M четырёхугольника лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF .

Критерий того, что четырехугольник, составленный из двух треугольников, вписан в некоторую окружность

$f^2\; =\; \backslash frac\{(ac+bd)(ad+bc)\}\{(ab+cd)\}.$

• Последнее условие дает выражение для диагонали f четырёхугольника, вписанного в окружность, через длины четырех его сторон (a , b , c , d ). Эта формула немедленно следует при перемножении и при приравнивании друг другу левых и правых частей формул, выражающих суть первой и второй теорем Птолемея (см.выше).

Критерий того, что четырехугольник, отрезанный прямой линией от треугольника, вписан в некоторую окружность

• Прямая, антипараллельная стороне треугольника и пересекающая его, отсекает от него четырёхугольник, около которого всегда можно описать окружность.
• Следствие. Около антипараллелограмма , у которого две противоположные стороны антипараллельны, всегда можно описать окружность.

Площадь вписанного в окружность четырёхугольника

Варианты формулы Брахмагупты

$S=\backslash sqrt\{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\},$ где p - полупериметр четырёхугольника. $S=\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash sqrt\{-\; \backslash begin\{vmatrix\}$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end{vmatrix}}

Другие формулы площади

$S\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}(ab+cd)\backslash sin\{B\}$ $S\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}(ac+bd)\backslash sin\{\backslash theta\},$

где θ любой из углов между диагоналями. При условии, что угол A не является прямым, площадь также может быть выражена как :p.26

$S\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{4\}(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan\{A\}.$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin\{A\}\backslash sin\{B\}\backslash sin\{\backslash theta\},$

где R есть радиус описанной окружности . Как прямое следствие имеем неравенство

$S\backslash le\; 2R^2,$

где равенство возможно тогда и только тогда, когда этот четырехугольник является квадратом.

Четырехугольники Брахмагупты

Четырехугольник Брахмагупты является четырехугольником, вписанным в окружность, с целыми значениями длин сторон, целыми значениями его диагоналей и с целым значением его площади. Все возможные четырехугольники Брахмагупты со сторонами a , b , c , d , с диагоналями e , f , с площадью S , и радиусом описанной окружности R могут быть получены путем освобождения от знаменателей следующих выражений, включающих рациональные параметры t , u , и v :

$a=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Примеры

• Частными четырёхугольниками, вписанными в окружность, являются: прямоугольник , квадрат , равнобедренная или равнобочная трапеция , антипараллелограмм .

Четырехугольники, вписанные в окружность с перпендикулярными диагоналями (вписанные ортодиагональные четырехугольники)

Свойства четырехугольников, вписанных в окружность с перпендикулярными диагоналями

Радиус описанной окружности и площадь

У четырехугольника, вписанного в окружность с перпендикулярными диагоналями, предположим, что пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длины p 1 и p 2 , а другую диагональ делит на отрезки длины q 1 и q 2 . Тогда (Первое равенство является Предложением 11 у Архимеда " Книга лемм )

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

где D - диаметр cокружности . Это справедливо, потому что диагонали перпендикулярны хорды окружности . Из этих уравнений следует, что радиус описанной окружности R может быть записан в виде

$R=\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2\}$

или в терминах сторон четырехугольника в виде

$R=\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{a^2+c^2\}=\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{b^2+d^2\}.$

Отсюда также следует, что

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• Для вписанных ортодиагональных четырехугольников справедлива теорема Брахмагупты :

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке $M$, то две пары его антимедиатрис проходят через точку $M$.

Замечание . В этой теореме под антимедиатрисой понимают отрезок $FE$ четырехугольника на рисунке справа (по аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника). Он перпендикулярен одной стороне и одновременно проходит через середину противоположной ей стороны четырехугольника.

Напишите отзыв о статье "Четырехугольники, вписанные в окружность"

Примечания

1. Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates , Highperception, с. 179, ISBN 1906338000 , OCLC
2. . Вписанные четырёхугольники.
3. Siddons, A. W. & Hughes, R. T. (1929), Trigonometry , Cambridge University Press, с. 202, OCLC
4. Durell, C. V. & Robson, A. (2003), , Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
5. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Forum Geometricorum Т. 7: 147–9,
6. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
7. Hoehn, Larry (March 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette Т. 84 (499): 69–70
8. .
9. Altshiller-Court, Nathan (2007), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), Courier Dover, сс. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2 , OCLC
10. Honsberger, Ross (1995), , Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , vol. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, сс. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
11. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
12. Bradley, Christopher (2011), ,
13. .
14. Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967), , Geometry Revisited , Mathematical Association of America, сс. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
15. .
16. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), , Mathematical Olympiad Treasures , Springer, сс. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
17. .
18. Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999), "", Bulletin of the Australian Mathematical Society Т. 59 (2): 263–9, DOI 10.1017/S0004972700032883
19. .
20. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. Co., 2007
21. , с. 74.
22. .
23. .
24. .
25. Peter, Thomas (September 2003), "Maximizing the area of a quadrilateral", The College Mathematics Journal Т. 34 (4): 315–6
26. Prasolov, Viktor, ,
27. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), , , Mathematical Association of America, с. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
28. Sastry, K.R.S. (2002). «» (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
29. Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , Challenging Problems in Geometry (2nd ed.), Courier Dover, сс. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
30. .
31. .
32. .

См. также

По числу сторон Правильные Треугольники Четырёхугольники См. также

Статья содержит короткие («гарвардские ») ссылки на публикации, не указанные или неправильно описанные в библиографическом разделе. Список неработающих ссылок: , , , , , , , , , – Ну, что, казак мой? (Марья Дмитриевна казаком называла Наташу) – говорила она, лаская рукой Наташу, подходившую к ее руке без страха и весело. – Знаю, что зелье девка, а люблю. Она достала из огромного ридикюля яхонтовые сережки грушками и, отдав их именинно сиявшей и разрумянившейся Наташе, тотчас же отвернулась от нее и обратилась к Пьеру. – Э, э! любезный! поди ка сюда, – сказала она притворно тихим и тонким голосом. – Поди ка, любезный… И она грозно засучила рукава еще выше. Пьер подошел, наивно глядя на нее через очки. – Подойди, подойди, любезный! Я и отцу то твоему правду одна говорила, когда он в случае был, а тебе то и Бог велит. Она помолчала. Все молчали, ожидая того, что будет, и чувствуя, что было только предисловие. – Хорош, нечего сказать! хорош мальчик!… Отец на одре лежит, а он забавляется, квартального на медведя верхом сажает. Стыдно, батюшка, стыдно! Лучше бы на войну шел. Она отвернулась и подала руку графу, который едва удерживался от смеха. – Ну, что ж, к столу, я чай, пора? – сказала Марья Дмитриевна. Впереди пошел граф с Марьей Дмитриевной; потом графиня, которую повел гусарский полковник, нужный человек, с которым Николай должен был догонять полк. Анна Михайловна – с Шиншиным. Берг подал руку Вере. Улыбающаяся Жюли Карагина пошла с Николаем к столу. За ними шли еще другие пары, протянувшиеся по всей зале, и сзади всех по одиночке дети, гувернеры и гувернантки. Официанты зашевелились, стулья загремели, на хорах заиграла музыка, и гости разместились. Звуки домашней музыки графа заменились звуками ножей и вилок, говора гостей, тихих шагов официантов. На одном конце стола во главе сидела графиня. Справа Марья Дмитриевна, слева Анна Михайловна и другие гостьи. На другом конце сидел граф, слева гусарский полковник, справа Шиншин и другие гости мужского пола. С одной стороны длинного стола молодежь постарше: Вера рядом с Бергом, Пьер рядом с Борисом; с другой стороны – дети, гувернеры и гувернантки. Граф из за хрусталя, бутылок и ваз с фруктами поглядывал на жену и ее высокий чепец с голубыми лентами и усердно подливал вина своим соседям, не забывая и себя. Графиня так же, из за ананасов, не забывая обязанности хозяйки, кидала значительные взгляды на мужа, которого лысина и лицо, казалось ей, своею краснотой резче отличались от седых волос. На дамском конце шло равномерное лепетанье; на мужском всё громче и громче слышались голоса, особенно гусарского полковника, который так много ел и пил, всё более и более краснея, что граф уже ставил его в пример другим гостям. Берг с нежной улыбкой говорил с Верой о том, что любовь есть чувство не земное, а небесное. Борис называл новому своему приятелю Пьеру бывших за столом гостей и переглядывался с Наташей, сидевшей против него. Пьер мало говорил, оглядывал новые лица и много ел. Начиная от двух супов, из которых он выбрал a la tortue, [черепаховый,] и кулебяки и до рябчиков он не пропускал ни одного блюда и ни одного вина, которое дворецкий в завернутой салфеткою бутылке таинственно высовывал из за плеча соседа, приговаривая или «дрей мадера», или «венгерское», или «рейнвейн». Он подставлял первую попавшуюся из четырех хрустальных, с вензелем графа, рюмок, стоявших перед каждым прибором, и пил с удовольствием, всё с более и более приятным видом поглядывая на гостей. Наташа, сидевшая против него, глядела на Бориса, как глядят девочки тринадцати лет на мальчика, с которым они в первый раз только что поцеловались и в которого они влюблены. Этот самый взгляд ее иногда обращался на Пьера, и ему под взглядом этой смешной, оживленной девочки хотелось смеяться самому, не зная чему. Николай сидел далеко от Сони, подле Жюли Карагиной, и опять с той же невольной улыбкой что то говорил с ней. Соня улыбалась парадно, но, видимо, мучилась ревностью: то бледнела, то краснела и всеми силами прислушивалась к тому, что говорили между собою Николай и Жюли. Гувернантка беспокойно оглядывалась, как бы приготавливаясь к отпору, ежели бы кто вздумал обидеть детей. Гувернер немец старался запомнить вое роды кушаний, десертов и вин с тем, чтобы описать всё подробно в письме к домашним в Германию, и весьма обижался тем, что дворецкий, с завернутою в салфетку бутылкой, обносил его. Немец хмурился, старался показать вид, что он и не желал получить этого вина, но обижался потому, что никто не хотел понять, что вино нужно было ему не для того, чтобы утолить жажду, не из жадности, а из добросовестной любознательности. На мужском конце стола разговор всё более и более оживлялся. Полковник рассказал, что манифест об объявлении войны уже вышел в Петербурге и что экземпляр, который он сам видел, доставлен ныне курьером главнокомандующему. – И зачем нас нелегкая несет воевать с Бонапартом? – сказал Шиншин. – II a deja rabattu le caquet a l"Autriche. Je crains, que cette fois ce ne soit notre tour. [Он уже сбил спесь с Австрии. Боюсь, не пришел бы теперь наш черед.] Полковник был плотный, высокий и сангвинический немец, очевидно, служака и патриот. Он обиделся словами Шиншина. – А затэ м, мы лосты вый государ, – сказал он, выговаривая э вместо е и ъ вместо ь. – Затэм, что импэ ратор это знаэ т. Он в манифэ стэ сказал, что нэ можэ т смотрэт равнодушно на опасности, угрожающие России, и что бэ зопасност империи, достоинство ее и святост союзов, – сказал он, почему то особенно налегая на слово «союзов», как будто в этом была вся сущность дела. И с свойственною ему непогрешимою, официальною памятью он повторил вступительные слова манифеста… «и желание, единственную и непременную цель государя составляющее: водворить в Европе на прочных основаниях мир – решили его двинуть ныне часть войска за границу и сделать к достижению „намерения сего новые усилия“. – Вот зачэм, мы лосты вый государ, – заключил он, назидательно выпивая стакан вина и оглядываясь на графа за поощрением. – Connaissez vous le proverbe: [Знаете пословицу:] «Ерема, Ерема, сидел бы ты дома, точил бы свои веретена», – сказал Шиншин, морщась и улыбаясь. – Cela nous convient a merveille. [Это нам кстати.] Уж на что Суворова – и того расколотили, a plate couture, [на голову,] а где y нас Суворовы теперь? Je vous demande un peu, [Спрашиваю я вас,] – беспрестанно перескакивая с русского на французский язык, говорил он. – Мы должны и драться до послэ днэ капли кров, – сказал полковник, ударяя по столу, – и умэ р р рэ т за своэ го импэ ратора, и тогда всэ й будэ т хорошо. А рассуждать как мо о ожно (он особенно вытянул голос на слове «можно»), как мо о ожно менше, – докончил он, опять обращаясь к графу. – Так старые гусары судим, вот и всё. А вы как судитэ, молодой человек и молодой гусар? – прибавил он, обращаясь к Николаю, который, услыхав, что дело шло о войне, оставил свою собеседницу и во все глаза смотрел и всеми ушами слушал полковника. – Совершенно с вами согласен, – отвечал Николай, весь вспыхнув, вертя тарелку и переставляя стаканы с таким решительным и отчаянным видом, как будто в настоящую минуту он подвергался великой опасности, – я убежден, что русские должны умирать или побеждать, – сказал он, сам чувствуя так же, как и другие, после того как слово уже было сказано, что оно было слишком восторженно и напыщенно для настоящего случая и потому неловко. – C"est bien beau ce que vous venez de dire, [Прекрасно! прекрасно то, что вы сказали,] – сказала сидевшая подле него Жюли, вздыхая. Соня задрожала вся и покраснела до ушей, за ушами и до шеи и плеч, в то время как Николай говорил. Пьер прислушался к речам полковника и одобрительно закивал головой. – Вот это славно, – сказал он. – Настоящэ й гусар, молодой человэк, – крикнул полковник, ударив опять по столу. – О чем вы там шумите? – вдруг послышался через стол басистый голос Марьи Дмитриевны. – Что ты по столу стучишь? – обратилась она к гусару, – на кого ты горячишься? верно, думаешь, что тут французы перед тобой? – Я правду говору, – улыбаясь сказал гусар. – Всё о войне, – через стол прокричал граф. – Ведь у меня сын идет, Марья Дмитриевна, сын идет. – А у меня четыре сына в армии, а я не тужу. На всё воля Божья: и на печи лежа умрешь, и в сражении Бог помилует, – прозвучал без всякого усилия, с того конца стола густой голос Марьи Дмитриевны. – Это так. И разговор опять сосредоточился – дамский на своем конце стола, мужской на своем. – А вот не спросишь, – говорил маленький брат Наташе, – а вот не спросишь! – Спрошу, – отвечала Наташа. Лицо ее вдруг разгорелось, выражая отчаянную и веселую решимость. Она привстала, приглашая взглядом Пьера, сидевшего против нее, прислушаться, и обратилась к матери: – Мама! – прозвучал по всему столу ее детски грудной голос. – Что тебе? – спросила графиня испуганно, но, по лицу дочери увидев, что это была шалость, строго замахала ей рукой, делая угрожающий и отрицательный жест головой. Разговор притих. – Мама! какое пирожное будет? – еще решительнее, не срываясь, прозвучал голосок Наташи. Графиня хотела хмуриться, но не могла. Марья Дмитриевна погрозила толстым пальцем. – Казак, – проговорила она с угрозой. Большинство гостей смотрели на старших, не зная, как следует принять эту выходку. – Вот я тебя! – сказала графиня. – Мама! что пирожное будет? – закричала Наташа уже смело и капризно весело, вперед уверенная, что выходка ее будет принята хорошо. Соня и толстый Петя прятались от смеха. – Вот и спросила, – прошептала Наташа маленькому брату и Пьеру, на которого она опять взглянула. – Мороженое, только тебе не дадут, – сказала Марья Дмитриевна. Наташа видела, что бояться нечего, и потому не побоялась и Марьи Дмитриевны. – Марья Дмитриевна? какое мороженое! Я сливочное не люблю. – Морковное. – Нет, какое? Марья Дмитриевна, какое? – почти кричала она. – Я хочу знать! Марья Дмитриевна и графиня засмеялись, и за ними все гости. Все смеялись не ответу Марьи Дмитриевны, но непостижимой смелости и ловкости этой девочки, умевшей и смевшей так обращаться с Марьей Дмитриевной. Наташа отстала только тогда, когда ей сказали, что будет ананасное. Перед мороженым подали шампанское. Опять заиграла музыка, граф поцеловался с графинюшкою, и гости, вставая, поздравляли графиню, через стол чокались с графом, детьми и друг с другом. Опять забегали официанты, загремели стулья, и в том же порядке, но с более красными лицами, гости вернулись в гостиную и кабинет графа. Раздвинули бостонные столы, составили партии, и гости графа разместились в двух гостиных, диванной и библиотеке. Граф, распустив карты веером, с трудом удерживался от привычки послеобеденного сна и всему смеялся. Молодежь, подстрекаемая графиней, собралась около клавикорд и арфы. Жюли первая, по просьбе всех, сыграла на арфе пьеску с вариациями и вместе с другими девицами стала просить Наташу и Николая, известных своею музыкальностью, спеть что нибудь. Наташа, к которой обратились как к большой, была, видимо, этим очень горда, но вместе с тем и робела. – Что будем петь? – спросила она. – «Ключ», – отвечал Николай. – Ну, давайте скорее. Борис, идите сюда, – сказала Наташа. – А где же Соня? Она оглянулась и, увидав, что ее друга нет в комнате, побежала за ней. Вбежав в Сонину комнату и не найдя там свою подругу, Наташа пробежала в детскую – и там не было Сони. Наташа поняла, что Соня была в коридоре на сундуке. Сундук в коридоре был место печалей женского молодого поколения дома Ростовых. Действительно, Соня в своем воздушном розовом платьице, приминая его, лежала ничком на грязной полосатой няниной перине, на сундуке и, закрыв лицо пальчиками, навзрыд плакала, подрагивая своими оголенными плечиками. Лицо Наташи, оживленное, целый день именинное, вдруг изменилось: глаза ее остановились, потом содрогнулась ее широкая шея, углы губ опустились. – Соня! что ты?… Что, что с тобой? У у у!… И Наташа, распустив свой большой рот и сделавшись совершенно дурною, заревела, как ребенок, не зная причины и только оттого, что Соня плакала. Соня хотела поднять голову, хотела отвечать, но не могла и еще больше спряталась. Наташа плакала, присев на синей перине и обнимая друга. Собравшись с силами, Соня приподнялась, начала утирать слезы и рассказывать. – Николенька едет через неделю, его… бумага… вышла… он сам мне сказал… Да я бы всё не плакала… (она показала бумажку, которую держала в руке: то были стихи, написанные Николаем) я бы всё не плакала, но ты не можешь… никто не может понять… какая у него душа. И она опять принялась плакать о том, что душа его была так хороша. – Тебе хорошо… я не завидую… я тебя люблю, и Бориса тоже, – говорила она, собравшись немного с силами, – он милый… для вас нет препятствий. А Николай мне cousin… надобно… сам митрополит… и то нельзя. И потом, ежели маменьке… (Соня графиню и считала и называла матерью), она скажет, что я порчу карьеру Николая, у меня нет сердца, что я неблагодарная, а право… вот ей Богу… (она перекрестилась) я так люблю и ее, и всех вас, только Вера одна… За что? Что я ей сделала? Я так благодарна вам, что рада бы всем пожертвовать, да мне нечем… Соня не могла больше говорить и опять спрятала голову в руках и перине. Наташа начинала успокоиваться, но по лицу ее видно было, что она понимала всю важность горя своего друга. – Соня! – сказала она вдруг, как будто догадавшись о настоящей причине огорчения кузины. – Верно, Вера с тобой говорила после обеда? Да? – Да, эти стихи сам Николай написал, а я списала еще другие; она и нашла их у меня на столе и сказала, что и покажет их маменьке, и еще говорила, что я неблагодарная, что маменька никогда не позволит ему жениться на мне, а он женится на Жюли. Ты видишь, как он с ней целый день… Наташа! За что?… И опять она заплакала горьче прежнего. Наташа приподняла ее, обняла и, улыбаясь сквозь слезы, стала ее успокоивать. – Соня, ты не верь ей, душенька, не верь. Помнишь, как мы все втроем говорили с Николенькой в диванной; помнишь, после ужина? Ведь мы всё решили, как будет. Я уже не помню как, но, помнишь, как было всё хорошо и всё можно. Вот дяденьки Шиншина брат женат же на двоюродной сестре, а мы ведь троюродные. И Борис говорил, что это очень можно. Ты знаешь, я ему всё сказала. А он такой умный и такой хороший, – говорила Наташа… – Ты, Соня, не плачь, голубчик милый, душенька, Соня. – И она целовала ее, смеясь. – Вера злая, Бог с ней! А всё будет хорошо, и маменьке она не скажет; Николенька сам скажет, и он и не думал об Жюли. И она целовала ее в голову. Соня приподнялась, и котеночек оживился, глазки заблистали, и он готов был, казалось, вот вот взмахнуть хвостом, вспрыгнуть на мягкие лапки и опять заиграть с клубком, как ему и было прилично. – Ты думаешь? Право? Ей Богу? – сказала она, быстро оправляя платье и прическу. – Право, ей Богу! – отвечала Наташа, оправляя своему другу под косой выбившуюся прядь жестких волос. И они обе засмеялись. – Ну, пойдем петь «Ключ». – Пойдем. – А знаешь, этот толстый Пьер, что против меня сидел, такой смешной! – сказала вдруг Наташа, останавливаясь. – Мне очень весело! И Наташа побежала по коридору. Соня, отряхнув пух и спрятав стихи за пазуху, к шейке с выступавшими костями груди, легкими, веселыми шагами, с раскрасневшимся лицом, побежала вслед за Наташей по коридору в диванную. По просьбе гостей молодые люди спели квартет «Ключ», который всем очень понравился; потом Николай спел вновь выученную им песню. В приятну ночь, при лунном свете, Представить счастливо себе, Что некто есть еще на свете, Кто думает и о тебе! Что и она, рукой прекрасной, По арфе золотой бродя, Своей гармониею страстной Зовет к себе, зовет тебя! Еще день, два, и рай настанет… Но ах! твой друг не доживет! И он не допел еще последних слов, когда в зале молодежь приготовилась к танцам и на хорах застучали ногами и закашляли музыканты. Пьер сидел в гостиной, где Шиншин, как с приезжим из за границы, завел с ним скучный для Пьера политический разговор, к которому присоединились и другие. Когда заиграла музыка, Наташа вошла в гостиную и, подойдя прямо к Пьеру, смеясь и краснея, сказала: – Мама велела вас просить танцовать. – Я боюсь спутать фигуры, – сказал Пьер, – но ежели вы хотите быть моим учителем… И он подал свою толстую руку, низко опуская ее, тоненькой девочке. Пока расстанавливались пары и строили музыканты, Пьер сел с своей маленькой дамой. Наташа была совершенно счастлива; она танцовала с большим, с приехавшим из за границы. Она сидела на виду у всех и разговаривала с ним, как большая. У нее в руке был веер, который ей дала подержать одна барышня. И, приняв самую светскую позу (Бог знает, где и когда она этому научилась), она, обмахиваясь веером и улыбаясь через веер, говорила с своим кавалером. – Какова, какова? Смотрите, смотрите, – сказала старая графиня, проходя через залу и указывая на Наташу. Наташа покраснела и засмеялась. – Ну, что вы, мама? Ну, что вам за охота? Что ж тут удивительного? В середине третьего экосеза зашевелились стулья в гостиной, где играли граф и Марья Дмитриевна, и большая часть почетных гостей и старички, потягиваясь после долгого сиденья и укладывая в карманы бумажники и кошельки, выходили в двери залы. Впереди шла Марья Дмитриевна с графом – оба с веселыми лицами. Граф с шутливою вежливостью, как то по балетному, подал округленную руку Марье Дмитриевне. Он выпрямился, и лицо его озарилось особенною молодецки хитрою улыбкой, и как только дотанцовали последнюю фигуру экосеза, он ударил в ладоши музыкантам и закричал на хоры, обращаясь к первой скрипке: – Семен! Данилу Купора знаешь? Это был любимый танец графа, танцованный им еще в молодости. (Данило Купор была собственно одна фигура англеза.) – Смотрите на папа, – закричала на всю залу Наташа (совершенно забыв, что она танцует с большим), пригибая к коленам свою кудрявую головку и заливаясь своим звонким смехом по всей зале. Действительно, всё, что только было в зале, с улыбкою радости смотрело на веселого старичка, который рядом с своею сановитою дамой, Марьей Дмитриевной, бывшей выше его ростом, округлял руки, в такт потряхивая ими, расправлял плечи, вывертывал ноги, слегка притопывая, и всё более и более распускавшеюся улыбкой на своем круглом лице приготовлял зрителей к тому, что будет. Как только заслышались веселые, вызывающие звуки Данилы Купора, похожие на развеселого трепачка, все двери залы вдруг заставились с одной стороны мужскими, с другой – женскими улыбающимися лицами дворовых, вышедших посмотреть на веселящегося барина. – Батюшка то наш! Орел! – проговорила громко няня из одной двери. Граф танцовал хорошо и знал это, но его дама вовсе не умела и не хотела хорошо танцовать. Ее огромное тело стояло прямо с опущенными вниз мощными руками (она передала ридикюль графине); только одно строгое, но красивое лицо ее танцовало. Что выражалось во всей круглой фигуре графа, у Марьи Дмитриевны выражалось лишь в более и более улыбающемся лице и вздергивающемся носе. Но зато, ежели граф, всё более и более расходясь, пленял зрителей неожиданностью ловких выверток и легких прыжков своих мягких ног, Марья Дмитриевна малейшим усердием при движении плеч или округлении рук в поворотах и притопываньях, производила не меньшее впечатление по заслуге, которую ценил всякий при ее тучности и всегдашней суровости. Пляска оживлялась всё более и более. Визави не могли ни на минуту обратить на себя внимания и даже не старались о том. Всё было занято графом и Марьею Дмитриевной. Наташа дергала за рукава и платье всех присутствовавших, которые и без того не спускали глаз с танцующих, и требовала, чтоб смотрели на папеньку. Граф в промежутках танца тяжело переводил дух, махал и кричал музыкантам, чтоб они играли скорее. Скорее, скорее и скорее, лише, лише и лише развертывался граф, то на цыпочках, то на каблуках, носясь вокруг Марьи Дмитриевны и, наконец, повернув свою даму к ее месту, сделал последнее па, подняв сзади кверху свою мягкую ногу, склонив вспотевшую голову с улыбающимся лицом и округло размахнув правою рукой среди грохота рукоплесканий и хохота, особенно Наташи. Оба танцующие остановились, тяжело переводя дыхание и утираясь батистовыми платками. – Вот как в наше время танцовывали, ma chere, – сказал граф. – Ай да Данила Купор! – тяжело и продолжительно выпуская дух и засучивая рукава, сказала Марья Дмитриевна. В то время как у Ростовых танцовали в зале шестой англез под звуки от усталости фальшививших музыкантов, и усталые официанты и повара готовили ужин, с графом Безухим сделался шестой удар. Доктора объявили, что надежды к выздоровлению нет; больному дана была глухая исповедь и причастие; делали приготовления для соборования, и в доме была суетня и тревога ожидания, обыкновенные в такие минуты. Вне дома, за воротами толпились, скрываясь от подъезжавших экипажей, гробовщики, ожидая богатого заказа на похороны графа. Главнокомандующий Москвы, который беспрестанно присылал адъютантов узнавать о положении графа, в этот вечер сам приезжал проститься с знаменитым Екатерининским вельможей, графом Безухим. Великолепная приемная комната была полна. Все почтительно встали, когда главнокомандующий, пробыв около получаса наедине с больным, вышел оттуда, слегка отвечая на поклоны и стараясь как можно скорее пройти мимо устремленных на него взглядов докторов, духовных лиц и родственников. Князь Василий, похудевший и побледневший за эти дни, провожал главнокомандующего и что то несколько раз тихо повторил ему. Проводив главнокомандующего, князь Василий сел в зале один на стул, закинув высоко ногу на ногу, на коленку упирая локоть и рукою закрыв глаза. Посидев так несколько времени, он встал и непривычно поспешными шагами, оглядываясь кругом испуганными глазами, пошел чрез длинный коридор на заднюю половину дома, к старшей княжне. Находившиеся в слабо освещенной комнате неровным шопотом говорили между собой и замолкали каждый раз и полными вопроса и ожидания глазами оглядывались на дверь, которая вела в покои умирающего и издавала слабый звук, когда кто нибудь выходил из нее или входил в нее. – Предел человеческий, – говорил старичок, духовное лицо, даме, подсевшей к нему и наивно слушавшей его, – предел положен, его же не прейдеши. – Я думаю, не поздно ли соборовать? – прибавляя духовный титул, спрашивала дама, как будто не имея на этот счет никакого своего мнения.

Определение 1. Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек (вершины), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырех последовательно соединяющих их непересекающихся отрезков (стороны).
Определение 2. Соседними называют вершины, которые являются концами одной стороны.
Определение 3. Вершины, не являющиеся соседними, называют противолежащими.
Определение 4. Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырехугольника, называются его диагоналями.
Теорема 1. Сумма углов четырехугольника равна 360 о.
Действительно, поделив четырехугольник диагональю на два треугольника, получаем, что сумма его углов равна сумме углов этих двух треугольников. Зная, что сумма углов треугольника равна 180 о, получаем искомое: 2 * 180 о =360 о
Определение d1. Описанный четырёхугольник - это четырёхугольник, все стороны которого касаются некоторой окружности. Напомним, что понятие стороны, касающейся окружности: окружность считается касающейся данной стороны, если она касается прямой, содержащей эту сторону, и точка касания лежит на этой стороне.
Определение d2. Вписанный четырехугольник - это четырёхугольник, все вершины которого принадлежат некоторой окружности.
Теорема 2. У любого четырехугольника, вписанного в окружность, суммы пар противоположных углов равны 180 о.
Углы А и С оба опираются на дугу BD только с разных сторон, то есть охватывают всю окружность, а сама окружность - это дуга величиной в 360 о, но мы знаем теоремму, которая твердит, что величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, поэтому можем утвердить, что сумма этих углов (А и С в частности) равна 180 о. Тем же способом можно жоказать эту теорему и для другой пары углов.
Теорема 3. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Для доказательства этой теоремы воспользуемся теоремой из темы круг и окружность , которая гласит: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, т.е. ВК=ВР, СР=СН, DH=DT и АТ=АК. Суммируем стороны АВ и CD: AB+CD=(AK+KB)+(DH+HC)=AT+BP+DT+CP=(AT+TD)+(BP+PC)=AD+BC, ч.т.д.

Для теорем 2 и 3 существуют обратные. Запишем их соответственно:

Теорема 4. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равны 180 градусам
Теорема 5. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Доказательство: Пусть ABCD - данный четырехугольник, и него AB + CD = AD + BC. Проведем биссектрисы его углов A и D. Эти биссектрисы непараллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке O. Опустим из точки O на стороны AB, AD и CD перпендикуляры OK, OL и OM. Тогда OK=OL, и OL=OM, а значит, окружность с центром в точке O и радиусом OK касается сторон AB, AD и CD данного четырёхугольника. Проведём из точки B касательную к этой окружности. Пусть эта касательная пересекает прямую CD в точке P. Тогда ABPD - описанный четырёхугольник. Следовательно, по свойству описанного четырёхугольника, AB + DP = AD + BP. Также, по условию, AB+ CD = AD + BC. Следовательно, BP + PC = BC, а значит, по неравенству треугольника, точка P лежит на отрезке BC. Следовательно, прямые BP и BC совпадают, а значит, прямая BC касается окружности с центром в точке O, то есть ABCD - описанный четырёхугольник по определению. Теорема доказана.
Теорема 6. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

Доказательство: Пусть ABCD - данный четырёхугольник. Пусть также O - точка пересечения диагоналей. Тогда
S ABCD = S ABO + S BCO +S CDO + S DAO =
= 1/2(AO·BO·sin∠ AOB + BO·CO·sin∠ BOC +
+ CO·DO·sin∠ COD + DO·AO·sin∠ AOD) =
= 1/2·sin∠ BOC·(AO + CO)·(BO + DO) =
= 1/2·sin∠ BOC·AC·BD.
Теорема доказана.
Теорема d1. (Вариньона) Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон любого четырёхугольника есть параллелограмм, причём площадь этого параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника.

Доказательство: Пусть ABCD - данный четырёхугольник, а K, L, M и N - середины его сторон. Тогда KL - средняя линия треугольника ABC, а значит, KL параллельно AC. Также LM параллельно BD, MN параллельно AC, а NK параллельно BD. Следовательно, KL параллельно MN, LM параллельно KN. Значит, KLMN - параллелограмм. Площадь этого параллелограмма - KL·KN·sin∠ NKL =
1/2·AC·BD·sin∠ DOC = 1/2S ABCD .
Теорема доказана.