Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?
Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.
Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.
Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.
Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.
Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.
Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.
Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:
Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.
Примеры таких уравнений:
Уравнения с разделяющимися переменными
В общем виде этот тип уравнений выглядит так:
Приведем пример:
Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:
После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Такие уравнения имеют вид:
Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:
Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).
Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.
Пример решения ДУ с разделяющимися переменными
Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.
Сначала перепишем производную в более привычном виде:
Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":
Теперь осталось проинтегрировать обе части:
Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:
Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":
Эта статья является отправной точкой в изучении теории дифференциальных уравнений. Здесь собраны основные определения и понятия, которые будут постоянно фигурировать в тексте. Для лучшего усвоения и понимания определения снабжены примерами.
Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.
Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных .
Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения .
Вот примеры ОДУ первого, второго и пятого порядков соответственно
В качестве примеров уравнений в частных производных второго порядка приведем
Далее мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого
порядка вида 
или 
, где Ф(x, y) = 0
неизвестная функция, заданная неявно (когда возможно, будем ее записывать в явном представлении y = f(x)
).
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения .
Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.
Решение дифференциального уравнения всегда ищется на заранее заданном интервале X .
Почему мы об этом говорим отдельно? Да потому что в условиях многих задач об интервале X
не упоминают. То есть, обычно условие задач формулируется так: «найдите решение обыкновенного дифференциального уравнения 
». В этом случае подразумевается, что решение следует искать для всех x
, при которых и искомая функция y
, и исходное уравнение имеют смысл.
Решение дифференциального уравнения часто называют интегралом дифференциального уравнения .
Функции или можно назвать решением дифференциального уравнения .
Одним из решений дифференциального уравнения является функция . Действительно, подставив эту функцию в исходное уравнение, получим тождество 
. Несложно заметить, что другим решением этого ОДУ является, например, . Таким образом, дифференциальные уравнения могут иметь множество решений.
Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения.
Общее решение дифференциального уравнения еще называют общим интегралом дифференциального уравнения .
Вернемся к примеру. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид или , где C – произвольная постоянная. Выше мы указали два решения этого ОДУ, которые получаются из общего интеграла дифференциального уравнения при подстановке С = 0 и C = 1 соответственно.
Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения .
Частным решением дифференциального уравнения , удовлетворяющим условию y(1)=1
, является . Действительно, 
и 
.
Основными задачами теории дифференциальных уравнений являются задачи Коши, краевые задачи и задачи нахождения общего решения дифференциального уравнения на каком-либо заданном интервале X .
Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям , где - числа.
Краевая задача
– это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего дополнительным условиям в граничных точках x 0
и x 1
:
f (x 0) = f 0
, f (x 1) = f 1
, где f 0
и f 1
- заданные числа.
Краевую задачу часто называют граничной задачей .
Обыкновенное дифференциальное уравнение n-ого порядка называется линейным , если оно имеет вид , а коэффициенты есть непрерывные функции аргумента x на интервале интегрирования.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x , искомую функцию y=f(x) и её производные y",y"",\ldots,y^{(n)} , т. е. уравнение вида
F(x,y,y",y"",\ldots,y^{(n)})=0.
Если искомая функция y=y(x) есть функция одной независимой переменной x , дифференциальное уравнение называется обыкновенным ; например,
\mathsf{1)}~\frac{dy}{dx}+xy=0, \quad \mathsf{2)}~y""+y"+x=\cos{x}, \quad \mathsf{3)}~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.
Когда искомая функция y есть функция двух и более независимых переменных, например, если y=y(x,t) , то уравнение вида
F\!\left(x,t,y,\frac{\partial{y}}{\partial{x}},\frac{\partial{y}}{\partial{t}},\ldots,\frac{\partial^m{y}}{\partial{x^k}\partial{t^l}}\right)=0
называется уравнением в частных производных. Здесь k,l - неотрицательные целые числа, такие, что k+l=m ; например
\frac{\partial{y}}{\partial{t}}-\frac{\partial{y}}{\partial{x}}=0, \quad \frac{\partial{y}}{\partial{t}}=\frac{\partial^2y}{\partial{x^2}}.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение y"+xy=e^x - уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение y""+p(x)y=0 , где p(x) - известная функция, - уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение y^{(9)}-xy""=x^2 - уравнение 9-го порядка.
Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется функция y=\varphi(x) , определенная на интервале (a,b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции y=\varphi(x) в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по x на (a,b) . Например, функция y=\sin{x}+\cos{x} является решением уравнения y""+y=0 на интервале (-\infty,+\infty) . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь
y"=\cos{x}-\sin{x}, \quad y""=-\sin{x}-\cos{x}.
Подставляя выражения y"" и y в дифференциальное уравнение, получим тождество
-\sin{x}-\cos{x}+\sin{x}+\cos{x}\equiv0
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.
Общий вид уравнения первого порядка
F(x,y,y")=0.
Если уравнение (1) удается разрешить относительно y" , то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.
y"=f(x,y).
Задачей Коши называют задачу нахождения решения y=y(x) уравнения y"=f(x,y) , удовлетворяющего начальному условию y(x_0)=y_0 (другая запись y|_{x=x_0}=y_0 ).
Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную
точку M_0(x_0,y_0)
плоскости xOy
(рис. 1).
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Пусть дано дифференциальное уравнение y"=f(x,y) , где функция f(x,y) определена в некоторой области D плоскости xOy , содержащей точку (x_0,y_0) . Если функция f(x,y) удовлетворяет условиям
а) f(x,y) есть непрерывная функция двух переменных x и y в области D ;
б) f(x,y) имеет частную производную , ограниченную в области D , то найдется интервал (x_0-h,x_0+h) , на котором существует единственное решение y=\varphi(x) данного уравнения, удовлетворяющее условию y(x_0)=y_0 .
Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения y"=f(x,y) , но эти условия не являются необходимыми . Именно, может существовать единственное решение уравнения y"=f(x,y) , удовлетворяющее условию y(x_0)=y_0 , хотя в точке (x_0,y_0) не выполняются условия а) или б) или оба вместе.
Рассмотрим примеры.
1. y"=\frac{1}{y^2} . Здесь f(x,y)=\frac{1}{y^2},~\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-\frac{2}{y^3} . В точках (x_0,0) оси Ox условия а) и б) не выполняются (функция f(x,y) и её частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}} разрывны на оси Ox и неограниченны при y\to0 ), но через каждую точку оси Ox проходит единственная интегральная кривая y=\sqrt{3(x-x_0)} (рис. 2).
2. y"=xy+e^{-y}
. Правая часть уравнения f(x,y)=xy+e^{-y}
и ее частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=x-e^{-y}
непрерывны по x
и y
во всех точках плоскости xOy
. В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение
является вся плоскость xOy
.
3. y"=\frac{3}{2}\sqrt{y^2} . Правая часть уравнения f(x,y)=\frac{3}{2}\sqrt{y^2} определена и непрерывна во всех точках плоскости xOy . Частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{1}{\sqrt{y}} обращается в бесконечность при y=0 , т.е. на оси Ox , так что при y=0 нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси Ox возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение y\equiv0 . Таким образом, через каждую точку оси Ox проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).
Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол y=\frac{(x+c)^3}{8} и отрезков оси Ox , например, ABOC_1, ABB_2C_2, A_2B_2x и др., так что через каждую точку оси Ox проходит бесконечное множество интегральных линий.
Условие Липшица
Замечание. Условие ограниченности производной \partial{f}/\partial{y} , фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица .
Говорят, что функция f(x,y) , определенная в некоторой области D , удовлетворяет в D условию Липшица по y , если существует такая постоянная L (постоянная Липшица ), что для любых y_1,y_2 из D и любого x из D справедливо неравенство
|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.
Существование в области D ограниченной производной \frac{\partial{f}}{\partial{y}} достаточно для того, чтобы функция f(x,y) удовлетворяла в D условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности \frac{\partial{f}}{\partial{y}} ; последняя может даже не существовать. Например, для уравнения y"=2|y|\cos{x} функция f(x,y)=2|y|\cos{x} не дифференцируема по y в точке (x_0,0),x_0\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} , но условие Липшица в окрестности этой точки выполняется. В самом деле,
{|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos{x}-2|y_1|\cos{x}|=2|\cos{x}|\,||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.}
поскольку |\cos{x}|\leqslant1, а ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1| . Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной L=2 .
Теорема. Если функция f(x,y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y в области D , то задача Коши
\frac{dy}{dx}=f(x,y), \quad y|_{x=x_0}=y_0, \quad (x_0,y_0)\in{D}.
имеет единственное решение.
Условие Липшица является существенным для единственности решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение
\frac{dy}{dx}=\begin{cases}\dfrac{4x^3y}{x^4+y^4},&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0.\end{cases}
Нетрудно видеть, что функция f(x,y) непрерывна; с другой стороны,
f(x,Y)-f(x,y)=\frac{4x^3(x^4+yY)}{(x^4+y^2)(x^4+Y^2)}(Y-y).
Если y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2, то
|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac{4}{|x|}\frac{1-\alpha\beta}{(1+\alpha^2)(1+\beta^2)}|Y-y|,
и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содержащей начало координат O(0,0) , так как множитель при |Y-y| оказывается неограниченным при x\to0 .
Данное дифференциальное уравнение допускает решение y=C^2-\sqrt{x^4+C^4}, где C - произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию y(0)=0.
Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция
y=\varphi(x,C),
зависящая от одной произвольной постоянной C , и такая, что
1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной C;
2) каково бы ни было начальное условие
\Bigl.{y}\Bigr|_{x=x_0}=y_0,
можно подобрать такое значение C_0 постоянной C , что решение y=\varphi(x,C_0) будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка (x_0,y_0) принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.
Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной C .
Пример 1. Проверить, что функция y=x+C есть общее решение дифференциального уравнения y"=1 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y|_{x=0}=0 . Дать геометрическое истолкование результата.
Решение. Функция y=x+C удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной C . В самом деле, y"=(x+C)"=1.
Зададим произвольное начальное условие y|_{x=x_0}=y_0 . Полагая x=x_0 и y=y_0 в равенстве y=x+C , найдем, что C=y_0-x_0 . Подставив это значение C в данную функцию, будем иметь y=x+y_0-x_0 . Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив x=x_0 , получим y=x_0+y_0-x_0=y_0 . Итак, функция y=x+C является общим решением данного уравнения.
В частности, полагая x_0=0 и y_0=0 , получим частное решение y=x .
Общее решение данного уравнения, т.е. функция y=x+C , определяет в плоскости xOy семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом k=1 . Через каждую точку M_0(x_0,y_0) плоскости xOy проходит единственная интегральная линия y=x+y_0-x_0 . Частное решение y=x определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).
Пример 2. Проверить, что функция y=Ce^x есть общее решение уравнения y"-y=0 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y|_{x=1}=-1. .
Решение. Имеем y=Ce^x,~y"=Ce^x . Подставляя в данное уравнение выражения y и y" , получаем Ce^x-Ce^x\equiv0 , т. е. функция y=Ce^x удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной C .
Зададим произвольное начальное условие y|_{x=x_0}=y_0 . Подставив x_0 и y_0 вместо x и y в функцию y=Ce^x , будем иметь y_0=Ce^{x_0} , откуда C=y_0e^{-x_0} . Функция y=y_0e^{x-x_0} удовлетворяет начальному условию. Действительно, полагая x=x_0 , получим y=y_0e^{x_0-x_0}=y_0 . Функция y=Ce^x есть общее решение данного уравнения.
При x_0=1 и y_0=-1 получим частное решение y=-e^{x-1} .
С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку M_0(1;-1) (рис.5).
Соотношение вида \Phi(x,y,C)=0 , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.
Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной C , называется частным интегралом дифференциального уравнения.
Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.
Так как с геометрической точки зрения координаты x и y равноправны, то наряду с уравнением \frac{dx}{dy}=f(x,y) мы будем рассматривать уравнение \frac{dx}{dy}=\frac{1}{f(x,y)} .
Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называются дифференциальными .
Общий вид дифференциальных уравнений: F (x , y , y ’, y ’’.. y ’’’) = 0
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.
Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием .
Дифференциальные уравнения первого порядка
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F (x, y, y ")=0, где F - известная функция трех переменных, x - независимая переменная, y (x ) - искомая функция, y "(x ) - ее производная. Если уравнение F (x, y, y ")=0 можно разрешить относительно y ", то его записывают в виде y "=f (x, y )
Уравнение y "=f (x, y ) устанавливает связь между координатами точки (x, y) и угловым коэффициентом y " касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме :
P (x ; y ) dx + Q (x ; y ) dy =0,
Где P (x ; y ) и Q (x ; y ) – известные функции. Уравнение P (x ; y ) dx + Q (x ; y ) dy =0 удобно тем, что переменные в нем равноправны, т.е. любую из них можно рассматривать как функцию другой.
Если дифференциальное уравнение первого порядка y "=f (x, y ), имеет решение, то решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде y=φ (x,C ), где C - произвольная константа.
Функция y=φ (x,C ) называется общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Она содержит одну произвольную постоянную и удовлетворяет условиям:
Функция y=φ (x,C ) является решением ДУ при каждом фиксированном значении С .
Каково бы ни было начальное условие y (x 0 )= y 0 , можно найти такое значение постоянной С=С 0 , что функция y=φ (x,C 0 ) удовлетворяет данному начальному условию.
Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция y=φ (x,C 0 ), полученная из общего решения y=φ (x,C ) при конкретном значении постоянной С=С 0 .
Задача отыскания решения ДУ первого порядка P (x ; y ) dx + Q (x ; y ) dy =0 , удовлетворяющего заданному начальному условию y (x 0 )= y 0 , называется задачей Коши .
Теорема (существования и единственности решения задачи Коши).
Если в уравнении y "=f (x, y ) функция f (x, y ) и ее частная производная f " y (x, y ) непрерывны в некоторой области D , содержащей точку (x 0 ; y 0 ), то существует единственное решение y=φ (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y (x 0 )= y 0 . (без доказательства)
Уравнения с разделяющимися переменными
Наиболее простым ДУ первого порядка является уравнение вида
P (x ) dx + Q (y ) dy =0.
В нем одно слагаемое зависит только от x , а другое - от y . Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными . Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:
∫ P (x ) dx + ∫ Q (y ) dy =с – его общий интеграл.
Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид:
P 1 (x) . Q 1 (y) . dx+ P 2 (x) . Q 2 (y) . dy=0.
Особенность этого уравнения в том, что коэффициенты представляют собой произведения двух функций, одна из которых зависит только от х другая – только от у.
Уравнение P 1 (x ) . Q 1 (y ) . dx + P 2 (x ) . Q 2 (y ) . dy =0 легко сводится к уравнению P (x ) dx + Q (y ) dy =0. путем почленного деления его на Q 1 (y ) . P 2 (x )≠0. Получаем.
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.
Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными . Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово "обыкновенные".
Примеры дифференциальных уравнений:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
Уравнение (1) - четвёртого порядка, уравнение (2) - третьего порядка, уравнения (3) и (4) - второго порядка, уравнение (5) - первого порядка.
Дифференциальное уравнение n -го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n -го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.
Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) - производной второго порядка и функции; в уравнении (4) - независимой переменной; в уравнении (5) - функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x) , при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием .
Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .
Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления , есть первообразная для , т. е.
Это и есть решение данного дифференциального уравнения . Меняя в нём C , будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.
Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.
Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.
Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.
Пример 2.
Найти общее решение дифференциального уравнения
и частное решение при 
.
Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.
,
.
В результате мы получили общее решение -
данного дифференциального уравнения третьего порядка.
Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим
.
Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши . В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C , а затем частное решение уравнения при найденном значении C . Это и есть решение задачи Коши.
Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .
Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем
Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:
При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных , в том числе сложных функций . Это видно на следующем примере.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.
.
Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой) . Пусть , тогда .
Требуется взять dx и теперь - внимание - делаем это по правилам дифференцирования сложной функции , так как x и есть сложная функция ("яблоко" - извлечение квадратного корня или, что то же самое - возведение в степень "одна вторая", а "фарш" - самое выражение под корнем):
Находим интеграл:
Возвращаясь к переменной x , получаем:
.
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.
Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x . Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.
