Механика - наука, описывающая движение тел и сопоставлены ему физические величины, такие как энергия или импульс. Она дает точные и достоверные результаты для многих явлений. Это касается как явлений микроскопического масштаба (здесь классическая механика не способна объяснить даже существование стабильного атома), так и некоторых макроскопических явлений, таких как сверхпроводимость, сверхтекучесть или излучения абсолютно черного тела. Уже на протяжении века существования квантовой механики ее предсказания никогда не были оспорены экспериментом. Квантовая механика объясняет крайней мере три типа явлений, которыx классическая механика и классическая электродинамика не может описать:
1) квантования некоторых физических величин;
2) корпускулярно-волнового дуализма;
3) существование смешанных квантовых состояний.
Квантовая механика может быть сформулирована как релятивистская или нерелявистська теория. Хотя релявистська квантовая механика является одной из самых фундаментальных теорий - нерелявистська квантовая механика также часто используется учитывая удобство.
Теоретическая база квантовой механики
Различные формулировки квантовой механики
Одно из первых формулировок квантовой механики - это «волновая механика», предложенная Эрвина Шредингера. В этой концепции состояние исследуемой системы определятся «волновой функцией», отражающую распределение вероятности всех измеряемых физических величин системы. Таких, как энергия, координаты, импульс или момент импульса. Волнового функция (с математической точки зрения) - это комплексная квадратично интегрируема функция координат и времени системы.
В квантовой механике физическим величинам не сопоставляются какие конкретные числовые значения. Зато, делаются предположения о распределении вероятности величин измеряемого параметра. Как правило, эти вероятности будут зависеть от вида вектора состояния в момент проведения измерения. Хотя, если быть точнее, каждому определенному значению измеряемой величины соответствует определенный вектор состояния, известный как «собственное состояние» измеряемой величины.
Возьмем конкретный пример. Представим себе свободную частицу. Ее вектор состояния произвольный. Наша задача - определить координату частицы. Собственное состояние координаты частицы в пространстве - это вектор состояния, норма якго в определенной точке х достаточно велика, в то же время в любом другом месте пространства - нулевая. Если мы теперь сделаем измерения, то со стопроцентной вероятностью получим самое значение х.
Иногда система, нас интересует, не находится в собственном состоянии ни измеряемой нами физической величины. Тем не менее, если мы попробуем провести измерения, волновая функция мгновенно станет собственным состоянием измеряемой величины. Этот процесс называется коллапса волновой функции. Если мы знаем волновую функцию в момент перед измерением, то в состоянии вычислить вероятность коллапса в каждый из возможных собственных состояний. Например, свободная частица в нашем предыдущем примере к измерению будет иметь волновой функции, является волновым пакетом с центром в некоторой точке х0, не является собственным состоянием координаты. Когда мы начинаем измерение координаты частицы, то невозможно предсказать результат, который мы получим. Вероятно, но не точно, что он будет находиться близко от х0, где амплитуда волновой функции велика. После проведения измерения, когда мы получим какой-то результат х, волновая функция коллапсирует в позицию с собственным состоянием, сосредоточенным именно в х.
Векторы состояния являются функциями времени. ψ = ψ (t) Уравнение Шредингера определяет изменение вектора состояния со временем.
Некоторые векторы состояния приводят к распределений вероятности, которые являются постоянными во времени. Многие системы, которые считаются динамическими в классической механике, в действительности описываются такими «статическими» функциями. Например, электрон в невозбужденном атоме в классической физике изображается как частица, которая движется по круговой траектории вокруг ядра атома, тогда как в квантовой механике он статичен, сферически-симметричной вероятностной облачком вокруг ядра.
Эволюция вектора состояния во времени является детерминистской в том смысле, что, имея определенный вектор состояния в начальный момент времени, можно сделать точное предсказание того, какой он будет в любой другой момент. В процессе измерения изменение конфигурации вектора состояния является вероятностной, а не детерминистский. Вероятностная природа квантовой механики, таким образом, проявляется именно в процессе выполнения измерений.
Существует несколько интерпретаций квантовой механики, которые вкладывают новое понятие в сам акт измерения в квантовой механике. Основной интерпретацией квантовой механики, является общепринятая на сегодня, является вероятностная интерпретация.
Физические основы квантовой механики
Принцип неопределенности, который утверждает, что существуют фундаментальные препятствия для точного одновременного измерения двух или более параметров системы с произвольной погрешностью. В примере со свободной частицей, это означает, что принципиально невозможно найти такую волновую функцию, которая была бы собственным состоянием одновременно и импульса, и координаты. Из этого и вытекает, что координата и импульс не могут быть одновременно определены с произвольной погрешностью. С повышением точности измерения координаты, максимальная точность измерения импульса уменьшается и наоборот. Те параметры, для которых такое утверждение справедливо, называются канонически сопряженными в классической физике.
Экспериментальные база квантовой механики
Существуют такие эксперимента, которые невозможно объяснить без привлечения квантовой механики. Первая разновидность квантовых эффектов - квантования определенных физических величин. Если локализовать свободную частицу из рассмотренного выше примера в прямоугольной потенциальной яме - области протору размером L, ограниченной с обеих сторон бесконечно высоким потенциальным барьером, то окажется, что импульс частицы может иметь только определенные дискретные значения, Где h - постоянная Планка, а n - произвольное натуральное число. О параметрах, которые могут приобретать лишь дискретных значений говорят, что они квантуются. Примерами квантованных параметров является также момент импульса, полная энергия ограниченной в пространстве системы, а также энергия электромагнитного излучения определенной частоты.
Еще один квантовый эффект - это корпускулярно-волновой дуализм. Можно показать, что при определенных условиях проведения эксперимента, микроскопические объекты, такие как атомы или электроны, приобретают свойства частиц (то есть могут быть локализованы в определенной области пространства). При других условиях, те же объекты приобретают свойства волн и демонстрируют такие эффекты, как интерференция.
Следующий квантовый эффект - это эффект спутанных квантовых состояний. В некоторых случаях, вектор состояния системы из многих частиц не может быть представлена как сумма отдельных волновых функций, соответствующих каждой из частиц. В таком случае говорят, что состояния частиц спутаны. И тогда, измерения, которое было проведено лишь для одной частицы, будет иметь результатом коллапс общей волновой функции системы, т.е. такое измерение будет иметь мгновенный влияние на волнового функции других частиц системы, пусть даже некоторые из них находятся на значительном расстоянии. (Это не противоречит специальной теории относительности, поскольку передача информации на расстояние таким образом невозможна.)
Математический аппарат квантовой механики
В строгом математическом аппарате квантовой механики, который был разработан Полем Дираком и Джоном фон Нейманом, возможные состояния квантово-механической системы репрезентируются векторами состояний в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве. Эволюция квантового состояния описывается уравнением Шредингера, в котором оператор Гамильтона, или гамильтониан, соответствующий полной энергии системы, определяет ее эволюцию во времени.
Каждый вимирюваний параметр системы представляется эрмитовых операторов в пространстве состояний. Каждый собственное состояние измеряемого параметра соответствует собственному вектору оператора, а соответствующее собственное значение равно значению измеряемого параметра в данном собственном состоянии. В процессе измерения, вероятность перехода системы в один из собственных состояний определяется как квадрат скалярного произведения вектора собственного состояния и вектора состояния перед измерением. Возможные результаты измерения - это собственные значения оператора, объясняет выбор эрмитовых операторов, для которых все собственные значения являются действительными числами. Распределение вероятности измеряемого параметра может быть получен вычислением спектральной декомпозиции соответствующего оператора (здесь спектром оператора называется супупнисть всех возможных значений соответствующей физической величины). Принципа неопределенности Гейзенберга соответствует то, что операторы соответствующих Физический величин не коммутируют между собой. Детали математического аппарата изложены в специальной статье Математический аппарат квантовой механики.
Аналитическое решение уравнения Шредингера существует для небольшого количества гамильтониан, например для гармонического осциллятора, модели атома водорода. Даже атом гелия, который отличается от атома водорода на один электрон, не полностью аналитического решения уравнения Шредингера. Однако существуют определенные методы приближенного решения этих уравнений. Например, методы теории возмущений, где аналитический результат решения простой квантово-механической модели используется для получения решений для более сложных систем, добавлением определенного «возмущения» в виде, например, потенциальной энергии. Другой метод, «Квазиклассическое уравнения движения» прикладывается к системам, для которых квантовая механика производит лишь слабые отклонения от классической поведения. Такие отклонения могут быть вычислены методами классической физики. Этот подход важен в теории квантового хаоса, которая бурно развивается в последнее время.
Взаимодействие с другими теориями
Фундаментальные принципы квантовой механики достаточно абстрактные. Они утверждают, что пространство состояний системы является гильбертовом, а физические величины соответствуют эрмитовых операторов, действующих в этом пространстве, но не указывают конкретно, что это за гильбертово пространство и что это за операторы. Они должны быть выбраны соответствующим образом для получения количественного описания квантовой системы. Важный путеводитель здесь - это принцип соответствия, который утверждает, что квантовомеханическая эффекты перестают быть значительными, и система приобретает черты классической, с увеличением ее размеров. Такой лимит «большой системы» также называется классическим лимитом или лимитом соответствия. Кроме того, можно начать с рассмотрения классической модели системы, а затем пытаться понять, какая квантовая модель соответствует той классической, находящегося вне лимита соответствия.
Когда квантовая механика была впервые сформулирована, она применялась к моделям, которые отвечали классическим моделям нерелятивистской механики. Например, известная модель гармонического осциллятора использует откровенно нерелятивистских описание кинетической энергии осциллятора, как и соответствующая квантовая модель.
Первые попытки связать квантовую механику со специальной теорией относительности привели к замене уравнения Шредингера на уравнения Дирака. Эти теории были успешными в объяснении многих экспериментальных результатов, но игнорировали такие факты, как релятивистское создания и аннигиляция элементарный частиц. Полностью релятивистская квантовая теория требует разработки квантовой теории поля, которая будет применять понятие квантования в поле, а не к фиксированному списку частиц. Первая завершена квантовая теория поля, квантовая электродинамика, предоставляет полностью квантовый описание процессов электромагнитного взаимодействия.
Полный аппарат квантовой теории поля часто является чрезмерным для описания электромагнитных систем. Простой подход, взятый из квантовой механики, предлагает считать заряженные частицы квантовомеханических объектами в классическом электромагнитном поле. Например, элементарная квантовая модель атома водорода описывает электромагнитное поле атома с использованием классического потенциала Кулона (т.е. обратно пропорционального расстоянию). Такой «псевдоклассическим» подход не работает, если квантовые флуктуации электромагнитного поля, такие как эмиссия фотонов заряженными частицами, начинают играть весомую роль.
Квантовые теории поля для сильных и слабых ядерных взаимодействий также были разработаны. Квантовая теория поля для сильных взаимодействий называется квантовой хромодинамики и описывает взаимодействие субъядерных частиц - кварков и глюонов. Слабые ядерные и электромагнитные взаимодействия были объединены в их квантовой форме, в одну квантовую теорию поля, которая называется теорией электрослабых взаимодействий.
Построить квантовую модель гравитации, последней из фундаментальных сил, пока не удается. Псевдоклассическим приближения работают, и даже предусмотрели некоторые эффекты, такие как радиация Хоукинга. Но формулировка полной теории квантовой гравитации осложняется существующими противоречиями между общей теорией относительности, наиболее точной теорией гравитацией из известных сегодня, и некоторыми фундаментальными положениями квантовой теории. Пересечение этих противоречий - область активного научного поиска, и такие теории, как теория струн, являются возможными кандидатами на звание будущей теории квантовой гравитации.
Применение квантовой механики
Квантовая механика имела большой успех в объяснении многих феноменов из окружающей среды. Поведение микроскопических частиц, формирующих все формы материи электронов, протонов, нейтронов и т.д. - часто может быть удовлетворительно объяснена только методами квантовой механики.
Квантовая механика важна в понимании того, как индивидуальные атомы комбинируются между собой и формируют химические элементы и соединения. Применение квантовой механики к химическим процессам известно как квантовая химия. Квантовая механика может далее качественно нового понимания процессам формирования химических соединений, показывая, какие молекулы энергетически выгоднее других, и насколько. Большинство из проведенных вычислений, сделанных в вычислительной химии, основанные на квантовомеханических принципах.
Современные технологии уже достигли того масштаба, где квантовые эффекты становятся важными. Примерами являются лазеры, транзисторы, электронные микроскопы, магниторезонансная томография. Вивичення полупроводников привело к изобретению диода и транзистора, которые являются незаменимыми в современной электронике.
Исследователи сегодня находятся в поисках надежных методов прямого манипулирования квантовых состояний. Были сделаны успешные попытки создать основы квантовой криптографии, которая позволит гарантированно секретное передачи информации. Более отдаленная цель - разработка квантовых компьютеров, которые, как ожидается, смогут реализовывать определенные алгоритмы с гораздо большей эффективностью, чем классические компьютеры. Другая тема активных исследований - квантовая телепортация, которая имеет дело с технологиями передачи квантовых состояний на значительные расстояния.
Философский аспект квантовой механики
С самого момента создания квантовой механики, ее выводы, противоречили традиционной представлении о мироустройстве, имели следствием активную философскую дискуссию и возникновения многих интерпретаций. Даже такие фундаментальные положения, как сформулированы Максом Борном правила амплитуд вероятности и распределения вероятности, ждали десятилетия на восприятие научным сообществом.
Другая проблема квантовой механики состоит в том, что природа исследуемого ею объекта неизвестна. В том смысле, что координаты объекта, или пространственное распределение вероятности его присутствия, могут быть определены только при наличии у него определенных свойств (заряда, например) и окружающих условий (наличия электрического потенциала).
Копенгагенская интерпретация, благодаря прежде всего Нильсу Бору, является базовой интерпретацию квантовой механики с момента ее формулировки и до современности. Она утверждала, что вероятностная природа квантовомеханических предсказаний не могла быть объяснено в терминах иные детерминистических теорий и накладывает ограничения на наши знания об окружающей среде. Квантовая механика поэтому предоставляет лишь вероятностные результаты, сама природа Вселенной является вероятностной, хотя и детерминированной в новом квантовом смысле.
Альберт Эйнштейн, сам один из основателей квантовой теории, испытывал дискомфорт из того, что в этой теории происходит отход от классического детерминизма в определении значений физических величин объектов. Он считал что существующая теория незавершенная и должна была быть еще какая дополнительная теория. Поэтому он выдвинул серию замечаний к квантовой теории, наиболее известной из которых стал так называемый ЭПР-парадокс. Джон Белл показал, что этот парадокс может привести к появлению таких расхождений в квантовой теории, которые можно будет измерить. Но эксперименты показали, что квантовая механика является корректным. Однако некоторые «несоответствия» этих экспериментов оставляют вопросы, на которые до сих пор не дан ответ.
Интерпретация множественных миров Эверетта, сформулированная в 1956 году предлагает модель мира, в которой все возможности принятия физическими величинами тех или иных значений в квантовой теории, одновременно происходят на самом деле, в «мультивсесвити», собранном из преимущественно независимых параллельных вселенных. Мультивсесвит детерминистический, но мы получаем вероятностную поведение вселенной только потому, что не можем наблюдать за всеми вселенными одновременно.
История
Фундамент квантовой механики заложен в первой половине 20 века Максом Планком, Альбертом Эйнштейном, Вернером Гейзенбергом, Эрвина Шредингера, Максом Борном, Полем Дираком, Ричардом Фейнманом и другими. Некоторые фундаментальные аспекты теории все еще нуждаются в изучении. В 1900 г. Макс Планк предложил концепцию квантования энергии для того, чтобы получить правильную формулу для энергии излучения абсолютно черного тела. В 1905 Эйнштейн объяснил природу фотоэлектрического эффекта, постулируя, что энергия света поглощается не непрерывно, а порциями, которые он назвал квантами. В 1913 Бор объяснил конфигурацию спектральных линий атома водорода, опять же с помощью квантования. В 1924 Луи де Бройль предложил гипотезу корпоскулярно-волнового дуализма.
Эти теории, хотя и успешные, были слишком фрагментарными и вместе составляют так называемую старую квантовую теорию.
Современная квантовая механика родилась в 1925, когда Гейзенберг разработал матричную механику, а Шредингер предложил волновую механику и свое уравнение. Впоследствии Янош фон Нейман доказал, что оба подхода эквивалентны.
Следующий шаг произошел тогда, когда Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности в 1927 году, и примерно тогда начала складываться вероятностная интерпретация. В 1927 году Поль Дирак объединил квантовую механику со специальной теорией относительности. Он также первым применил теорию операторов, включая популярную бра-кет нотацию. В 1932 Джон фон Нойман сформулировал математическое базис квантовой механики на основе теории операторов.
Эра квантовой химии была начата Вальтером Гайтлера и Фрицем Лондоном, которые опубликовали теорию образования ковалентных связей в молекуле водорода в 1927. В дальнейшем квантовая химия развивалась большой сообществом ученых во всем мире.
Начиная с 1927, начались попытки применения квантовой механики к багаточастинокових систем, следствием появление квантовой теории поля. Работы в этом направлении осуществлялись Дираком, Паули, Вайскопф, Жордану. Кульминацией этого направления исследований стала квантовая электродинамика, сформулированная Фейнманом, Дайсоном, Швингера и Томонагою течение 1940-х. Квантовая электродинамика - это квантовая теория электронов, позитронов и электромагнитного поля.
Теория квантовой хромодинамики была сформулирована в ранних 1960-х. Эта теория, такая какой ее мы знаем теперь, была предложена Полицтером, Гроссом и Вилчек в 1975. Опираясь на исследования Швингера, Хиггса, Голдстона и других, Глэшоу, Вайнберг и Салам независимо показали, что слабые ядерные взаимодействия и квантовая электродинамика могут быть объединены и рассматриваться как единая електрослаба сила.
Квантования
В квантовой механике срок квантования употребляется в нескольких близких, но разных значениях.
Квантованием называют дисктеризацию значений физической величины, что в классической физике является непрерывной. Например, электроны в атомах могут находиться только на определенных орбиталях с определенными значениями энергии. Другой пример - орбитальный момент квантовомеханической частицы может иметь только вполне определенные значения. Дискретизация энергетических уровней физической системы при уменьшении размеров называется размерным квантованием.
Квантованием называют также переход от классического описания физической системы к квантового. В частности, процедура разложения классических полей (например, электромагнитного поля) на нормальные моды и представления их в виде квантов поля (для электромагнитного поля - это фотоны) называется вторичным квантованием.
А. ШИШЛОВА. по материалам журналов "Успехи физических наук" и "Scientific american".
Квантово-механическое описание физических явлений микромира считается единственно верным и наиболее полно отвечающим реальности. Объекты макромира подчиняются законам другой, классической механики. Граница между макро- и микромиром размыта, а это вызывает целый ряд парадоксов и противоречий. Попытки их ликвидировать приводят к появлению других взглядов на квантовую механику и физику микромира. Видимо, наилучшим образом выразить их удалось американскому теоретику Дэвиду Джозефу Бому (1917-1992).
1. Мысленный эксперимент по измерению компонент спина (собственного количества движения) электрона с помощью некоего устройства - "черного ящика".
2. Последовательное измерение двух компонент спина. Измеряется "горизонтальный" спин электрона (слева), потом "вертикальный" спин (справа), потом снова "горизонтальный" (внизу).
3А. Электроны с "правым" спином после прохождения через "вертикальный" ящик движутся в двух направлениях: вверх и вниз.
3Б. В том же эксперименте на пути одного из двух пучков поставим некую поглощающую поверхность. Далее в измерениях участвует лишь половина электронов, и на выходе половина их имеет "левый" спин, а половина - "правый".
4. Состояние любого объекта микромира описывает так называемая волновая функция.
5. Мысленный эксперимент Эрвина Шредингера.
6. Эксперимент, предложенный Д. Бомом и Я. Аароновым в 1959 году, должен был показать, что магнитное поле, недоступное для частицы, влияет на ее состояние.
Чтобы понять, какие трудности испытывает современная квантовая механика, нужно вспомнить, чем она отличается от классической, ньютоновской механики. Ньютон создал общую картину мира, в которой механика выступала как универсальный закон движения материальных точек или частиц - маленьких комочков материи. Из этих частиц можно было построить любые объекты. Казалось, что механика Ньютона способна теоретически объяснить все природные явления. Однако в конце прошлого века выяснилось, что классическая механика неспособна объяснить законы теплового излучения нагретых тел. Этот, казалось бы, частный вопрос привел к необходимости пересмотреть физические теории и потребовал новых идей.
В 1900 году появилась работа немецкого физика Макса Планка, в которой эти новые идеи и появились. Планк предположил, что излучение происходит порциями, квантами. Такое представление противоречило классическим воззрениям, но прекрасно объясняло результаты экспериментов (в 1918 году эта работа была удостоена Нобелевской премии по физике). Спустя пять лет Альберт Эйнштейн показал, что не только излучение, но и поглощение энергии должно происходить дискретно, порциями, и сумел объяснить особенности фотоэффекта (Нобелевская премия 1921 года). Световой квант - фотон, по Эйнштейну, имея волновые свойства, одновременно во многом напоминает частицу (корпускулу). В отличие от волны, например, он либо поглощается целиком, либо не поглощается вовсе. Так возник принцип корпускулярно-волнового дуализма электромагнитного излучения.
В 1924 году французский физик Луи де Бройль выдвинул достаточно "безумную" идею, предположив, что все без исключения частицы - электроны, протоны и целые атомы обладают волновыми свойствами. Год спустя Эйнштейн отозвался об этой работе: "Хотя кажется, что ее писал сумасшедший, написана она солидно", а в 1929 году де Бройль получил за нее Нобелевскую премию...
На первый взгляд, повседневный опыт гипотезу де Бройля отвергает: в окружающих нас предметах ничего "волнового" как будто нет. Расчеты, однако, показывают, что длина дебройлевской волны электрона, ускоренно го до энергии 100 электрон-вольт, равна 10 -8 сантиметра. Эту волну нетрудно обнаружить экспериментально, пропустив поток электронов сквозь кристалл. На кристаллической решетке произойдет дифракция их волн и возникнет характерная полосатая картинка. А у пылинки массой 0,001 грамма при той же скорости длина волны де Бройля будет в 10 24 раз меньше, и обнаружить ее никакими средствами нельзя.
Волны де Бройля непохожи на механические волны - распространяющиеся в пространстве колебания материи. Они характеризуют вероятность обнаружить частицу в данной точке пространства. Любая частица оказывается как бы "размазанной" в пространстве, и существует отличная от нуля вероятность обнаружить ее где угодно. Классическим примером вероятностного описания объектов микромира служит опыт по дифракции электронов на двух щелях. Прошедший через щель электрон регистрируется на фотопластинке или на экране в виде пятнышка. Каждый электрон может пройти либо через правую щель, либо через левую совершенно случайным образом. Когда пятнышек становится очень много, на экране возникает дифракционная картина. Почернение экрана оказывается пропорциональным вероятности появления электрона в данном месте.
Идеи де Бройля углубил и развил австрийский физик Эрвин Шредингер. В 1926 году он вывел систему уравнений - волновых функций, описывающих поведение квантовых объектов во времени в зависимости от их энергии (Нобелевская премия 1933 года). Из уравнений следует, что любое воздействие на частицу меняет ее состояние. А поскольку процесс измерения параметров частицы неизбежно связан с воздействием, возникает вопрос: что же регистрирует измерительный прибор, вносящий непредсказуемые возмущения в состояние измеряемого объекта?
Таким образом, исследование элементарных частиц позволило установить, по крайней мере, три чрезвычайно удивительных факта, касающихся общей физической картины мира.
Во-первых, оказалось, что процессами, происходящими в природе, управляет чистый случай. Во-вторых, далеко не всегда существует принципиальная возможность указать точное положение материального объекта в пространстве. И, в-третьих, что, пожалуй, наиболее странно, поведение таких физических объектов, как "измерительный прибор", или "наблюдатель", не описывается фундаментальными законами, справедливыми для прочих физических систем.
Впервые к таким выводам пришли сами основоположники квантовой теории - Нильс Бор, Вернер Гейзенберг, Вольфганг Паули. Позднее данная точка зрения, получившая название Копенгагенской интерпретации квантовой механики, была принята в теоретической физике в качестве официальной, что и нашло свое отражение во всех стандартных учебниках.
Вполне возможно, однако, что подобные заключения были сделаны слишком поспешно. В 1952 году американский физик-теоретик Дэвид Д. Бом создал глубоко проработанную квантовую теорию, отличную от общепринятой, которая так же хорошо объясняет все известные ныне особенности поведения субатомных частиц. Она представляет собой единый набор физических законов, позволяющий избежать какой-либо случайности в описании поведения физических объектов, а также неопределенности их положения в пространстве. Несмотря на это, бомовская теория до самого последнего времени почти полностью игнорировалась.
Чтобы лучше представить себе всю сложность описания квантовых явлений, проведем несколько мысленных экспериментов по измерению спина (собственного момента количества движения) электрона. Мысленных потому, что создать измерительный прибор, позволяющий точно измерять обе компоненты спина, пока что не удалось никому. Столь же безуспешными оказываются попытки предсказать, какие именно электроны поменяют свой спин в ходе описанного эксперимента, а какие нет.
Эти эксперименты включают в себя измерение двух компонент спина, которые условно будем называть "вертикальным" и "горизонтальным" спинами. Каждая из компонент в свою очередь может принимать одно из значений, которые мы также условно назовем "верхним" и "нижним", "правым" и "левым" спинами соответственно. Измерение основано на пространственном разделении частиц с разными спинами. Приборы, осуществляющие разделение, можно представить себе как некие "черные ящики" двух типов - "горизонтальный" и "вертикальный" (рис. 1). Известно, что разные компоненты спина свободной частицы совершенно независимы (физики говорят - не коррелируют между собой). Однако в ходе измерения одной компоненты значение другой может измениться, причем совершенно неконтролируемым образом (2).
Пытаясь объяснить полученные результаты, традиционная квантовая теория пришла к выводу, что необходимо полностью отказаться от детерминистского, то есть полностью определяющего состояние
объекта, описания явлений микромира. Поведение электронов подчиняется принципу неопределенности, согласно которому компоненты спина не могут быть точно измерены одновременно.
Продолжим наши мысленные эксперименты. Будем теперь не только расщеплять пучки электронов, но и заставим их отражаться от неких поверхностей, пересекаться и снова соединяться в один пучок в специальном "черном ящике" (3).
Результаты этих экспериментов противоречат обычной логике. Действительно, рассмотрим поведение какого-либо электрона в случае, когда поглощающая стенка отсутствует (3 А). Куда он будет двигаться? Допустим, что вниз. Тогда, если первоначально электрон имел "правый" спин, он так и останется правым до конца эксперимента. Однако, применив к этому электрону результаты другого эксперимента (3 Б), мы увидим, что его "горизонтальный" спин на выходе должен быть в половине случаев "правым", а в половине - "левым". Явное противоречие. Мог ли электрон пойти вверх? Нет, по той же самой причине. Быть может, он двигался не вниз, не вверх, а как-то по-другому? Но, перекрыв верхний и нижний маршруты поглощающими стенками, мы на выходе не получим вообще ничего. Остается предположить, что электрон может двигаться сразу по двум направлениям. Тогда, имея возможность фиксировать его положение в разные моменты времени, в половине случаев мы находили бы его на пути вверх, а в половине - на пути вниз. Ситуация достаточно парадоксальная: материальная частица не может ни раздваиваться, ни "прыгать" с одной траектории на другую.
Что говорит в данном случае традиционная квантовая теория? Она просто объявляет все рассмотренные ситуации невозможными, а саму постановку вопроса об определенном направлении движения электрона (и соответственно о направлении его спина) - некорректной. Проявление квантовой природы электрона в том и заключается, что ответа на данный вопрос в принципе не существует. Состояние электрона представляет собой суперпозицию, то есть сумму двух состояний, каждое из которых имеет определенное значение "вертикального" спина. Понятие о суперпозиции - один из основополагающих принципов квантовой механики, с помощью которого вот уже более семидесяти лет удается успешно объяснять и предсказывать поведение всех известных квантовых систем.
Для математического описания состояний квантовых объектов используется волновая функция, которая в случае одной частицы просто определяет ее координаты. Квадрат волновой функции равен вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства. Таким образом, если частица находится в некой области А, ее волновая функция равна нулю всюду, за исключением этой области. Аналогично частица, локализованная в области Б, имеет волновую функцию, отличную от нуля только в Б. Если же состояние частицы оказывается суперпозицией пребывания ее в А и Б, то волновая функция, описывающая такое состояние, отлична от нуля в обеих областях пространства и равна нулю всюду вне их. Однако, если мы поставим эксперимент по определению положения такой частицы, каждое измерение будет давать нам только одно значение: в половине случаев мы обнаружим частицу в области А, а в половине - в Б (4). Это означает, что при взаимодействии частицы с окружением, когда фиксируется только одно из состояний частицы, ее волновая функция как бы коллапсирует, "схлопывается" в точку.
Одно из основных утверждений квантовой механики заключается в том, что физические объекты полностью описываются их волновыми функциями. Таким образом, весь смысл законов физики сводится к предсказанию изменений волновых функций во времени. Эти законы делятся на две категории в зависимости от того, предоставлена ли система самой себе или же она находится под непосредственным наблюдением и в ней производятся измерения.
В первом случае мы имеем дело с линейными дифференциальными "уравнениями движения", уравнениями детерминистскими, которые полностью описывают состояние микрочастиц. Следовательно, зная волновую функцию частицы в какой-то момент времени, можно точно предсказать поведение частицы в любой последующий момент. Однако при попытке предсказать результаты измерений каких-либо свойств той же частицы нам придется иметь дело уже с совершенно другими законами - чисто вероятностными.
Возникает естественный вопрос: как отличить условия применимости той или другой группы законов? Создатели квантовой механики указывают на необходимость четкого разделения всех физических процессов на "измерения" и "собственно физические процессы", то есть на "наблюдателей" и "наблюдаемых", или, по философской терминологии, на субъект и объект. Однако отличие между этими категориями носит не принципиальный, а чисто относительный характер. Тем самым, по мнению многих физиков и философов, квантовая теория в такой интерпретации становится неоднозначной, теряет свою объективность и фундаментальность. "Проблема измерения" стала основным камнем преткновения в квантовой механике. Ситуация несколько напоминает знаменитую апорию Зенона "Куча". Одно зерно - явно не куча, а тысяча (или, если угодно, миллион) - куча. Два зерна - тоже не куча, а 999 (или 999999) - куча. Эта цепочка рассуждений приводит к некоему количеству зерен, при котором понятия "куча - не куча" станут неопределенными. Они будут зависеть от субъективной оценки наблюдателя, то есть от способа измерений, хотя бы и на глаз.
Все окружающие нас макроскопические тела предполагаются точечными (или протяженными) объектами с фиксированными координатами, которые подчиняются законам классической механики. Но это означает, что классическое описание можно продолжить вплоть до самых малых частиц. С другой стороны, идя со стороны микромира, следует включать в волновое описание объекты все большего размера вплоть до Вселенной в целом. Граница между макро- и микромиром не определена, и попытки ее обозначить приводят к парадоксу. Наиболее четко указывает на него так называемая "задача о кошке Шредингера" - мысленный эксперимент, предложенный Эрвином Шредингером в 1935 году (5).
В закрытом ящике сидит кошка. Там же находятся флакон с ядом, источник излучения и счетчик заряженных частиц, подсоединенный к устройству, разбивающему флакон в момент регистрации частицы. Если яд разольется, кошка погибнет. Зарегистрировал счетчик частицу или нет, мы не можем знать в принципе: законы квантовой механики подчиняются законам вероятности. И с этой точки зрения, пока счетчик не произвел измерения, он находится в суперпозиции двух состояний - "регистрация - нерегистрация". Но тогда в этот момент и кошка оказывается в суперпозиции состояний жизни и смерти.
В действительности, конечно, реального парадокса здесь быть не может. Регистрация частицы - процесс необратимый. Он сопровождается коллапсом волновой функции, вслед за чем срабатывает механизм, разбивающий флакон. Однако ортодоксальная квантовая механика не рассматривает необратимых явлений. Парадокс, возникающий в полном согласии с ее законами, наглядно показывает, что между квантовым микромиром и классическим макромиром имеется некая промежуточная область, в которой квантовая механика не работает.
Итак, несмотря на несомненные успехи квантовой механики в объяснении экспериментальных фактов, в настоящий момент она едва ли может претендовать на полноту и универсальность описания физических явлений. Одной из наиболее смелых альтернатив квантовой механики и стала теория, предложенная Дэвидом Бомом.
Задавшись целью построить теорию, свободную от принципа неопределенности, Бом предложил считать микрочастицу материальной точкой, способной занимать точное положение в пространстве. Ее волновая функция получает статус не характеристики вероятности, а вполне реального физического объекта, некоего квантовомеханического поля, оказывающего мгновенное силовое воздействие. В свете этой интерпретации, например, "парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена" (см. "Наука и жизнь" № 5, 1998 г.) перестает быть парадоксом. Все законы, управляющие физическими процессами, становятся строго детерминистскими и имеют вид линейных дифференциальных уравнений. Одна группа уравнений описывает изменение волновых функций во времени, другая - их воздействие на соответствующие частицы. Законы применимы ко всем физическим объектам без исключения - и к "наблюдателям", и к "наблюдаемым".
Таким образом, если в какой-то момент известны положение всех частиц во Вселенной и полная волновая функция каждой, то в принципе можно точно рассчитать положение частиц и их волновые функции в любой последующий момент времени. Следовательно, ни о какой случайности в физических процессах не может быть и речи. Другое дело, что мы никогда не сможем обладать всей информацией, необходимой для точных вычислений, да и сами расчеты оказываются непреодолимо сложными. Принципиальное незнание многих параметров системы приводит к тому, что на практике мы всегда оперируем некими усредненными величинами. Именно это "незнание", по мнению Бома, заставляет нас прибегать к вероятностным законам при описании явлений в микромире (подобная ситуация возникает и в классической статистической механике, например в термодинамике, которая имеет дело с огромным количеством молекул). Теория Бома предусматривает определенные правила усреднения неизвестных параметров и вычисления вероятностей.
Вернемся к экспериментам с электронами, изображенным на рис. 3 А и Б. Теория Бома дает им следующее объяснение. Направление движения электрона на выходе из "вертикального ящика" полностью определяется исходными условиями - начальным положением электрона и его волновой функцией. В то время как электрон движется либо вверх, либо вниз, его волновая функция, как это следует из дифференциальных уравнений движения, расщепится и станет распространяться сразу в двух направлениях. Таким образом, одна часть волновой функции окажется "пустой", то есть будет распространяться отдельно от электрона. Отразившись от стенок, обе части волновой функции воссоединятся в "черном ящике", и при этом электрон получит информацию о том участке пути, где его не было. Содержание этой информации, например о препятствии на пути "пустой" волновой функции, может оказать существенное воздействие на свойства электрона. Это и снимает логическое противоречие между результатами экспериментов, изображенных на рисунке. Необходимо отметить одно любопытное свойство "пустых" волновых функций: будучи реальными, они тем не менее никак не влияют на посторонние объекты и не могут быть зарегистрированы измерительными приборами. А на "свой" электрон "пустая" волновая функция оказывает силовое воздействие независимо от расстояния, причем воздействие это передается мгновенно.
Попытки "исправить" квантовую механику или объяснить возникающие в ней противоречия предпринимали многие исследователи. Построить детерминистскую теорию микромира, например, пытался де Бройль, который был согласен с Эйнштейном, что "Бог не играет в кости". А видный отечественный теоретик Д. И. Блохинцев считал, что особенности квантовой механики проистекают из-за невозможности изолировать частицу от окружающего мира. При любой температуре выше абсолютного нуля тела излучают и поглощают электромаг нитные волны. С позиций квантовой механики это означает, что их положение непрерывно "измеряется", вызывая коллапс волновых функций. "С этой точки зрения никаких изолированных, предоставленных самим себе "свободных" частиц не существует, - писал Блохинцев. - Возможно, что в этой связи частиц и cреды и скрывается природа той невозможности изолировать частицу, которая проявляется в аппарате квантовой механики".
И все-таки - почему же интепретация квантовой механики, предложенная Бомом, до сих пор не получила должного признания в научном мире? И как объяснить почти повсеместное господство традиционной теории, несмотря на все ее парадоксы и "темные места"?
Долгое время новую теорию не хотели рассматривать всерьез на основании того, что в предсказании исхода конкретных экспериментов она полностью совпадает с квантовой механикой, не приводя к существен но новым результатам. Вернер Гейзенберг, например, считал, что "для любого опыта его (Бома) результаты совпадают с копенгагенской интерпретацией. Отсюда первое следствие: интерпретацию Бома нельзя опровергнуть экспериментом..." Некоторые считают теорию ошибочной, так как в ней преимущественная роль отводится положению частицы в пространстве. По их мнению, это противоречит физической реальности, ибо явления в квантовом мире принципиально не могут быть описаны детерминистскими законами. Существует немало и других, не менее спорных аргументов против теории Бома, которые сами требуют серьезных доказательств. Во всяком случае, ее пока что действительно никому не удалось полностью опровергнуть. Более того - работу над ее совершенствованием продолжают многие, в том числе отечественные, исследователи.
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, раздел теоретической физики, представляющий собой систему понятий и математический аппарат, необходимые для описания физических явлений, обусловленных существованием в природе наименьшего кванта действия h (Планка постоянной). Численное значение h = 6,62607∙10ˉ 34 Дж∙с (и другое, часто используемое значение ħ = h/2π = 1,05457∙10ˉ 34 Дж∙с) чрезвычайно мало, но тот факт, что оно конечно, принципиально отличает квантовые явления от всех других и определяет их основные особенности. К квантовым явлениям относятся процессы излучения, явления атомной и ядерной физики, физики конденсированных сред, химическая связь и др.
История создания квантовой механики. Исторически первым явлением, для объяснения которого в 1900 году было введено понятие кванта действия h, был спектр излучения абсолютно чёрного тела, т. е. зависимость интенсивности теплового излучения от его частоты v и температуры Т нагретого тела. Первоначально связь этого явления с процессами, происходящими в атоме, не была ясна; в то время не была общепризнанной и сама идея атома, хотя уже тогда были известны наблюдения, которые указывали на сложную внутриатомную структуру.
В 1802 У. Волластон обнаружил в спектре излучения Солнца узкие спектральные линии, которые в 1814 году подробно описал Й. Фраунгофер. В 1859 Г. Кирхгоф и Р. Бунзен установили, что каждому химическому элементу присущ индивидуальный набор спектральных линий, а швейцарский учёный И. Я. Бальмер (1885), шведский физик Й. Ридберг (1890) и немецкий учёный В. Ритц (1908) обнаружили в их расположении определённые закономерности. В 1896 году П. Зееман наблюдал расщепление спектральных линий в магнитном поле (эффект Зеемана), которое Х. А. Лоренц в следующем году объяснил движением электрона в атоме. Существование электрона экспериментально доказал в 1897 Дж. Дж. Томсон.
Существующие физические теории оказались недостаточными для объяснения законов фотоэффекта: оказалось, что энергия электронов, вылетающих из вещества при облучении его светом, зависит только от частоты света v, а не от его интенсивности (А. Г. Столетов, 1889; Ф. фон Ленард, 1904). Этот факт полностью противоречил общепринятой в то время волновой природе света, но естественно объяснялся в предположении, что свет распространяется в виде квантов энергии Е=hv (А. Эйнштейн, 1905), названных впоследствии фотонами (Г. Льюис, 1926).
В течение 10 лет после открытия электрона было предложено несколько моделей атома, не подкреплённых, однако, экспериментами. В 1909-11 Э. Резерфорд, изучая рассеяние α-частиц на атомах, установил существование компактного положительно заряженного ядра, в котором сосредоточена практически вся масса атома. Эти эксперименты стали основой планетарной модели атома: положительно заряженное ядро, вокруг которого вращаются отрицательно заряженные электроны. Такая модель, однако, противоречила факту стабильности атома, поскольку из классической электродинамики следовало, что через время порядка 10 -9 с вращающийся электрон упадёт на ядро, потеряв энергию на излучение.
В 1913 году Н. Бор предположил, что стабильность планетарного атома объясняется конечностью кванта действия h. Он постулировал, что в атоме существуют стационарные орбиты, на которых электрон не излучает (первый постулат Бора), и выделил эти орбиты из всех возможных условием квантования: 2πmυr = nh, где m - масса электрона, υ - его орбитальная скорость, r - расстояние до ядра, n= 1,2,3,... - целые числа. Из этого условия Бор определил энергии E n = -me 4 /2ħ 2 n 2 (е - электрическbй заряд электрона) стационарных состояний, а также диаметр атома водорода (порядка 10 -8 см) - в полном соответствии с выводами кинетической теории материи.
Второй постулат Бора утверждал, что излучение происходит только при переходах электронов с одной стационарной орбиты на другую, причём частота излучения v nk переходов из состояния Е n в состояние E k равна v nk = (E k - Е n)/h (смотри Атомная физика). Теория Бора естественным образом объясняла закономерности в спектрах атомов, однако её постулаты находились в очевидном противоречии с классической механикой и теорией электромагнитного поля.
В 1922 году А. Комптон, изучая рассеяние рентгеновских лучей на электронах, установил, что падающий и рассеянный рентгеновские кванты энергии ведут себя как частицы. В 1923 Ч. Т. Р. Вильсон и Д. В. Скобельцын наблюдали электрон отдачи в этой реакции и тем самым подтвердили корпускулярную природу рентгеновских лучей (ядерного γ-излучения). Это, однако, противоречило опытам М. Лауэ, который ещё в 1912 году наблюдал дифракцию рентгеновских лучей и тем самым доказал их волновую природу.
В 1921 году немецкий физик К. Рамзауэр обнаружил, что при определённой энергии электроны проходят сквозь газы, практически не рассеиваясь, подобно световым волнам в прозрачной среде. Это было первое экспериментальное свидетельство о волновых свойствах электрона, реальность которых в 1927 году была подтверждена прямыми опытами К. Дж. Дэвиссона, Л. Джермера и Дж.П. Томсона.
В 1923 году Л. де Бройль ввёл понятие о волнах материи: каждой частице с массой m и скоростью υ можно сопоставить волну с длиной λ = h/mυ, точно так же как каждой волне с частотой v = с/λ можно сопоставить частицу с энергией Е = hv. Обобщение этой гипотезы, известное как корпускулярно-волновой дуализм, стало фундаментом и универсальным принципом квантовой физики. Суть его состоит в том, что одни и те же объекты исследования проявляют себя двояко: либо как частица, либо как волна - в зависимости от условий их наблюдения.
Соотношения между характеристиками волны и частицы были установлены ещё до создания квантовой механики: Е = hv (1900) и λ = h/mυ = h/р (1923), где частота v и длина волны λ - характеристики волны, а энергия Е и масса m, скорость υ и импульс р = mυ - характеристики частицы; связь между этими двумя типами характеристик осуществляется через постоянную Планка h. Наиболее отчётливо соотношения дуальности выражаются через круговую частоту ω = 2πν и волновой вектор k = 2π/λ:
Е = ħω, р = ħk.
Наглядная иллюстрация дуализма волна-частица представлена на рисунке 1: дифракционные кольца, наблюдаемые при рассеянии электронов и рентгеновских лучей, практически идентичны.
Квантовая механика - теоретический базис всей квантовой физики - была создана за неполных три года. В 1925 В. Гейзенберг, опираясь на идеи Бора, предложил матричную механику, которая к концу того же года приобрела вид законченной теории в трудах М. Борна, немецкого физика П. Йордана и П. Дирака. Основными объектами этой теории стали матрицы специального вида, которые в квантовой механике представляют физические величины классической механики.
В 1926 году Э. Шрёдингер, исходя из представлений Л. де Бройля о волнах материи, предложил волновую механику, где основную роль играет волновая функция квантового состояния, которая подчиняется дифференциальному уравнению 2-го порядка с заданными граничными условиями. Обе теории одинаково хорошо объясняли устойчивость планетарного атома и позволяли вычислить его основные характеристики. В том же году М. Борн предложил статистическую интерпретацию волновой функции, Шрёдингер (а также независимо В. Паули и др.) доказал математическую эквивалентность матричной и волновой механик, а Борн совместно с Н. Винером ввёл понятие оператора физической величины.
В 1927 году В. Гейзенберг открыл соотношение неопределённостей, а Н. Бор сформулировал принцип дополнительности. Открытие спина электрона (Дж. Уленбек и С. Гаудсмит, 1925) и вывод уравнения Паули, учитывающего спин электрона (1927), завершили логическую и расчётную схемы нерелятивистской квантовой механики, а П. Дирак и Дж. фон Нейман изложили квантовую механику как законченную концептуально независимую теорию на базе ограниченного набора понятий и постулатов, таких как оператор, вектор состояния, амплитуда вероятности, суперпозиция состояний и др.
Основные понятия и формализм квантовой механики. Основным уравнением квантовой механики является волновое уравнение Шрёдингера, роль которого подобна роли уравнений Ньютона в классической механике и уравнениям Максвелла в электродинамике. В пространстве переменных х (координата) и t (время) оно имеет вид
где Н - оператор Гамильтона; его вид совпадает с оператором Гамильтона классической механики, в котором координата х и импульс р заменены на операторы х и р этих переменных, т. е.
где V(х) - потенциальная энергия системы.
В отличие от уравнения Ньютона, из которого находится наблюдаемая траектория х(t) материальной точки, движущейся в поле сил потенциала V(х), из уравнения Шрёдингера находят ненаблюдаемую волновую функцию ψ(х) квантовой системы, с помощью которой, однако, можно вычислить значения всех измеримых величин. Сразу же после открытия уравнения Шрёдингера М. Борн объяснил смысл волновой функции: |ψ(х)| 2 - это плотность вероятности, а |ψ(x)| 2 ·Δx - вероятность обнаружить квантовую систему в интервале Δх значений координаты х.
Каждой физической величине (динамической переменной классической механики) в квантовой механике сопоставляется наблюдаемая а и соответствующий ей эрмитов оператор Â, который в выбранном базисе комплексных функций |i> = f i (х) представляется матрицей
где f*(х) - функция, комплексно сопряжённая к функции f (х).
Ортогональным базисом в этом пространстве является набор собственных функций |n) = f n (х)), n = 1,2,3, для которых действие оператора Â сводится к умножению на число (собственное значение а n оператора Â):
Базис функций |n) нормирован условием при n = n’ , при n ≠ n’.
а число базисных функций (в отличие от базисных векторов трёхмерного пространства классической физики) бесконечно, причём индекс n может изменяться как дискретно, так и непрерывно. Все возможные значения наблюдаемой а содержатся в наборе {а n } собственных значений соответствующего ей оператора Â, и только эти значения могут стать результатами измерений.
Основным объектом квантовой механики является вектор состояния |ψ), который может быть разложен по собственным функциям |n) выбранного оператора Â:
где ψ n - амплитуда вероятности (волновая функция) состояния |n), а |ψ n | 2 равно весу состояния n в разложении |ψ), причем
т. е. полная вероятность найти систему в одном из квантовых состояний n равна единице.
В квантовой механике Гейзенберга операторы Â и соответствующие им матрицы подчиняются уравнениям
где |Â,Ĥ|=ÂĤ - ĤÂ - коммутатор операторов Â и Ĥ. В отличие от схемы Шрёдингера, где от времени зависит волновая функция ψ, в схеме Гейзенберга временная зависимость отнесена к оператору Â. Оба эти подхода математически эквивалентны, однако в многочисленных приложениях квантовой механики подход Шрёдингера оказался предпочтительнее.
Собственное значение оператора Гамильтона Ĥ есть полная энергия системы Е, не зависящая от времени, которая находится как решение стационарного уравнения Шрёдингера
Его решения подразделяются на два типа в зависимости от вида граничных условий.
Для локализованного состояния волновая функция удовлетворяет естественному граничному условию ψ(∞) = 0. В этом случае уравнение Шрёдингера имеет решение только для дискретного набора энергий Е n , n = 1,2,3,..., которым соответствуют волновые функции ψ n (r):
Примером локализованного состояния является атом водорода. Его гамильтониан Ĥ имеет вид
где Δ = ∂ 2 /∂х 2 + ∂ 2 /∂у 2 + ∂ 2 /∂z 2 - оператор Лапласа, е 2 /r - потенциал взаимодействия электрона и ядра, r - расстояние от ядра до электрона, а собственные значения энергии Е n , вычисленные из уравнения Шрёдингера, совпадают с уровнями энергии атома Бора.
Простейший пример нелокализованного состояния - свободное одномерное движение электрона с импульсом р. Ему соответствует уравнение Шрёдингера
решением которого является плоская волна
где в общем случае С = |С|exp{iφ} - комплексная функция, |С| и φ - её модуль и фаза. В этом случае энергия электрона Е = р 2 /2m, а индекс р решения ψ р (х) принимает непрерывный ряд значений.
Операторы координаты и импульса (и любой другой пары канонически сопряжённых переменных) подчиняются перестановочному (коммутационному) соотношению:
Общего базиса собственной функций для пар таких операторов не существует, а соответствующие им физические величины не могут быть определены одновременно с произвольной точностью. Из соотношения коммутации для операторов х̂ и р̂ следует ограничение на точность Δх и Δр определения координаты х и сопряжённого ей импульса р квантовой системы (соотношение неопределённостей Гейзенберга):
Отсюда, в частности, сразу следует вывод об устойчивости атома, поскольку соотношение Δх = Δр = 0, соответствующее падению электрона на ядро, в этой схеме запрещено.
Совокупность одновременно измеримых величин, характеризующих квантовую систему, представляется набором операторов
коммутирующих между собой, т. е. удовлетворяющих соотношениям А̂В̂ - В̂А̂ = А̂С̂ - С̂А̂ = В̂С̂ - С̂В̂ =... = 0. Для нерелятивистского атома водорода такой набор составляют, например, операторы: Ĥ (оператор полной энергии), (квадрат оператора момента) и (z-компонента оператора момента). Вектор состояния атома определяется как совокупность общих собственных функций ψ i (r) всех операторов
которые нумеруются набором {i} = (nlm) квантовых чисел энергии (n = 1,2,3,...), орбитального момента (l = 0,1, . . . , n - 1) и его проекции на ось z (m = -l,...,-1,0,1,...,l). Функции |ψ i (r)| 2 можно условно рассматривать как форму атома в различных квантовых состояниях i (так называемые силуэты Уайта).
Значение физической величины (наблюдаемая квантовая механика) определяется как среднее значение Ā соответствующего ей оператора Â:
Это соотношение справедливо для чистых состояний, т. е. для изолированных квантовых систем. В общем случае смешанных состояний мы всегда имеем дело с большой совокупностью (статистическим ансамблем) идентичных систем (например, атомов), свойства которой определяются путём усреднения по этому ансамблю. В этом случае среднее значение Ā оператора Â принимает вид
где р nm - матрица плотности (Л. Д. Ландау; Дж.фон Нейман, 1929) с условием нормировки ∑ n ρ пп = 1. Формализм матрицы плотности позволяет объединить квантовомеханическое усреднение по состояниям и статистическое усреднение по ансамблю. Матрица плотности играет важную роль также в теории квантовых измерений, суть которых всегда состоит во взаимодействии квантовой и классической подсистем. Понятие матрицы плотности является основой квантовой статистики и базисом для одной из альтернативных формулировок квантовой механики. Ещё одну форму квантовой механики, основанную на понятии континуального интеграла (или интеграла по траекториям), предложил Р. Фейнман в 1948 году.
Принцип соответствия . Квантовая механика имеет глубокие корни, как в классической, так и в статистической механике. Уже в своей первой работе Н. Бор сформулировал принцип соответствия, согласно которому квантовые соотношения должны переходить в классические при больших квантовых числах n. П. Эренфест в 1927 году показал, что с учётом уравнений квантовой механики среднее значение Ā оператора Â удовлетворяет уравнению движения классической механики. Теорема Эренфеста есть частный случай общего принципа соответствия: в пределе h → 0 уравнения квантовой механики переходят в уравнения классической механики. В частности, волновое уравнение Шрёдингера в пределе h → 0 переходит в уравнение геометрической оптики для траектории светового луча (и любого излучения) без учёта его волновых свойств. Представив решение ψ(х) уравнения Шрёдингера в виде ψ(х) = exp{iS/ħ}, где S = ∫ p(x)dx - аналог классического интеграла действия, можно убедиться, что в пределе ħ → 0 функция S удовлетворяет классическому уравнению Гамильтона - Якоби. Кроме того, в пределе h → 0 операторы х̂ и р̂ коммутируют и соответствующие им значения координаты и импульса могут быть определены одновременно, как это и предполагается в классической механике.
Наиболее существенные аналогии между соотношениями классической и квантовой механик для периодических движений прослеживаются на фазовой плоскости канонически сопряжённых переменных, например координаты х и импульса р системы. Интегралы типа ∮р(х)dx, взятые по замкнутой траектории (интегральные инварианты Пуанкаре), известны в предыстории квантовой механики как адиабатические инварианты Эренфеста. А. Зоммерфельд использовал их для описания квантовых закономерностей на языке классической механики, в частности для пространственного квантования атома и введения квантовых чисел l и m (именно он ввёл этот термин в 1915).
Размерность фазового интеграла ∮pdx совпадает с размерностью постоянной Планка h, и в 1911 году А. Пуанкаре и М. Планк предложили рассматривать квант действия h как минимальный объём фазового пространства, число n ячеек которого кратно h:n = ∮pdx/h. В частности, при движении электрона по круговой траектории с постоянным импульсом р из соотношения n = ∮р(х)dx/h = р ∙ 2πr/h сразу следует условие квантования Бора: mυr=nħ (П. Дебай, 1913).
Однако в случае одномерного движения в потенциале V(x) = mω 2 0 х 2 /2 (гармонический осциллятор с собственной частотой ω 0) из условия квантования ∮р(х)dx = nh следует ряд значений энергии Е n = ħω 0 n, в то время как точное решение квантовых уравнений для осциллятора приводит к последовательности Е n = ħω 0 (n + 1/2). Этот результат квантовой механики, впервые полученный В. Гейзенбергом, принципиально отличается от приближённого наличием нулевой энергии колебаний Е 0 = ħω 0 /2, которая имеет чисто квантовую природу: состояние покоя (х = 0, р = 0) в квантовой механике запрещено, поскольку оно противоречит соотношению неопределённостей Δх∙ Δр ≥ ħ/2.
Принцип суперпозиции состояний и вероятностная интерпретация. Основное и наглядное противоречие между корпускулярной и волновой картинами квантовых явлений удалось устранить в 1926 году, после того, как М. Борн предложил интерпретировать комплексную волновую функцию ψ n (x) = |ψ n (x)|·exp(iφ n) как амплитуду вероятности состояния n, а квадрат её модуля |ψ n (х)| 2 - как плотность вероятности обнаружить состояние n в точке х. Квантовая система может находиться в различных, в том числе альтернативных, состояниях, а её амплитуда вероятности равна линейной комбинации амплитуд вероятности этих состояний: ψ = ψ 1 + ψ 2 + ...
Плотность вероятности результирующего состояния равна квадрату суммы амплитуд вероятности, а не сумме квадратов амплитуд, как это имеет место в статистической физике:
Этот постулат - принцип суперпозиции состояний - один из важнейших в системе понятий квантовой механики; он имеет много наблюдаемых следствий. Одно из них, а именно прохождение электрона через две близко расположенные щели, обсуждается чаще других (рис. 2). Пучок электронов падает слева, проходит сквозь щели в перегородке и затем регистрируется на экране (или фотопластинке) справа. Если поочерёдно закрывать каждую из щелей, то на экране справа мы увидим изображение открытой щели. Но если открыть обе щели одновременно, то вместо двух щелей мы увидим систему интерференционных полос, интенсивность которых описывается выражением:
Последний член в этой сумме представляет интерференцию двух волн вероятности, пришедших в данную точку экрана из разных щелей в перегородке, и зависит от разности фаз волновых функций Δφ = φ 1 - φ 2 . В случае равных амплитуд |ψ 1 | = |ψ 2 |:
т. е. интенсивность изображения щелей в разных точках экрана меняется от 0 до 4|ψ 1 | 2 - в соответствии с изменением разности фаз Δφ от 0 до π/2. В частности, при этом может оказаться, что при двух открытых щелях на месте изображения одиночной щели мы не обнаружим никакого сигнала, что с корпускулярной точки зрения абсурдно.
Существенно, что эта картина явления не зависит от интенсивности пучка электронов, т. е. это не результат их взаимодействия между собой. Интерференционная картина возникает даже в пределе, когда электроны проходят через щели в перегородке поодиночке, т. е. каждый электрон интерферирует сам с собой. Такое невозможно для частицы, но вполне естественно для волны, например при её отражении или дифракции на препятствии, размеры которого сравнимы с её длиной. В этом опыте дуализм волна-частица проявляется в том, что один и тот же электрон регистрируется как частица, но распространяется как волна особой природы: это волна вероятности обнаружить электрон в какой-либо точке пространства. В такой картине процесса рассеяния вопрос: «Через какую из щелей прошёл электрон-частица?» теряет смысл, поскольку соответствующая ему волна вероятности проходит через обе щели сразу.
Другой пример, иллюстрирующий вероятностный характер явлений квантовой механики, - прохождение света через полупрозрачную пластинку. По определению, коэффициент отражения света равен отношению числа фотонов, отражённых от пластинки, к числу падающих. Однако это есть не результат усреднения большого числа событий, а характеристика, изначально присущая каждому фотону.
Принцип суперпозиции и концепция вероятности позволили осуществить непротиворечивый синтез понятий «волна» и «частица»: каждое из квантовых событий и его регистрация дискретны, но их распределение диктуется законом распространения непрерывных волн вероятности.
Туннельный эффект и резонансное рассеяние. Туннельный эффект - едва ли не самое известное явление квантовой физики. Он обусловлен волновыми свойствами квантовых объектов и только в рамках квантовой механики получил адекватное объяснение. Пример туннельного эффекта - распад ядра радия на ядро радона и α-частицу: Ra → Rn + α.
На рисунке 3 приведена схема потенциала α-распада V(r): α-частица колеблется с частотой v в «потенциальной яме» ядра с зарядом Z 0 , а покинув её, движется в отталкивающем кулоновском потенциале 2Ze 2 /r, где Z=Z 0 -2. В классической механике частица не может покинуть потенциальную яму, если её энергия Е меньше, чем высота потенциального барьера V мaкc . В квантовой механике вследствие соотношения неопределённостей частица с конечной вероятностью W проникает в подбарьерную область r 0 < r < r 1 и может «просочиться» из области r < r 0 в область r > r 1 аналогично тому, как свет проникает в область геометрической тени на расстояния, сравнимые с длиной световой волны. Используя уравнение Шрёдингера, можно вычислить коэффициент D прохождения α-частицы через барьер, который в квазиклассическом приближении равен:
Со временем число ядер радия N(t) убывает по закону: N(t) = N 0 exp{-t/τ}, где τ - среднее время жизни ядра, N 0 - начальное число ядер при t = 0. Вероятность α-распада W = vD связана со временем жизни соотношением W = l/τ, откуда следует закон Гейгера - Неттола:
где υ - скорость α-частицы, Z - заряд образовавшегося ядра. Экспериментально эта зависимость была обнаружена ещё в 1909 году, но только в 1928 Г. Гамов (и независимо английский физик Р. Гёрни и американский физик Э. Кондон) впервые объяснил её на языке квантовой механики. Тем самым было показано, что квантовая механика описывает не только процессы излучения и другие явления атомной физики, но также явления ядерной физики.
В атомной физике туннельный эффект объясняет явление автоэлектронной эмиссии. В однородном электрическом поле напряжённостью Е кулоновский потенциал V(r) = -е 2 /r притяжения между ядром и электроном искажается: V(r) = - е 2 /r - eEr, уровни энергии атома E nl m при этом смещаются, что приводит к изменению частот ν nk переходов между ними (эффект Штарка). Кроме того, качественно этот потенциал становится подобным потенциалу α-распада, вследствие чего возникает конечная вероятность туннелирования электрона через потенциальный барьер (Р. Оппенгеймер, 1928). При достижении критических значений Е барьер понижается настолько, что электрон покидает атом (так называемая лавинная ионизация).
Альфа-распад есть частный случай распада квазистационарного состояния, который тесно связан с понятием квантовомеханического резонанса и позволяет понять дополнительные аспекты нестационарных процессов в квантовой механике. Из уравнения Шрёдингера следует зависимость его решений от времени:
где Е - собственное значение гамильтониана Ĥ, которое для эрмитовых операторов квантовой механики действительно, а соответствующая ему наблюдаемая (полная энергия Е) не зависит от времени. Однако энергия нестационарных систем от времени зависит, и этот факт можно формально учесть, если энергию такой системы представить в комплексном виде: Е = Е 0 - iΓ/2. В этом случае зависимость волновой функции от времени имеет вид
а вероятность обнаружить соответствующее состояние убывает по экспоненциальному закону:
который совпадает по форме с законом α-распада с постоянной распада τ = ħ/Г.
В обратном процессе, например при столкновении ядер дейтерия и трития, в результате которого образуются гелий и нейтрон (реакция термоядерного синтеза), используется понятие сечения реакции σ, которое определяется как мера вероятности реакции при единичном потоке сталкивающихся частиц.
Для классических частиц сечение рассеяния на шарике радиусом r 0 совпадает с его геометрической сечением и равно σ = πr 0 2 . В квантовой механике оно может быть представлено через фазы рассеяния δl(k):
где k = р/ħ = √2mE/ħ - волновое число, l - орбитальный момент системы. В пределе очень малых энергий столкновения сечение квантового рассеяния σ = 4πr 0 2 в 4 раза превышает геометрическое сечение шарика. (Этот эффект - одно из следствий волновой природы квантовых явлений.) В окрестности резонанса при Е ≈ Е 0 фаза рассеяния ведёт себя как
а сечение рассеяния равно
где λ = 1/k, W(Е) - функция Брейта - Вигнера:
При малых энергиях рассеяния l 0 ≈ 0, а длина волны де Бройля λ значительно больше размеров ядер, поэтому при Е = Е 0 , резонансные сечения ядер σ рез ≈ 4πλ 0 2 могут в тысячи и миллионы раз превышать их геометрические сечения πr 0 2 . В ядерной физике именно от этих сечений зависит работа ядерного и термоядерного реакторов. В атомной физике это явление впервые наблюдали Дж. Франк и Г. Герц (1913) в опытах по резонансному поглощению электронов атомами ртути. В противоположном случае (δ 0 = 0) сечение рассеяния аномально мало (эффект Рамзауэра, 1921).
Функция W(Е) известна в оптике как лоренцевский профиль линии излучения и имеет вид типичной резонансной кривой с максимумом при Е = Е 0 , а ширина резонанса Г = 2∆Е = 2 (Е - Е 0) определяется из соотношения W(Е 0 ± ΔΕ) = W(Е 0)/2. Функция W(Е) носит универсальный характер и описывает как распад квазистационарного состояния, так и резонансную зависимость сечения рассеяния от энергии столкновения Е, а в явлениях излучения определяет естественную ширину Г спектральной линии, которая связана с временем жизни τ излучателя соотношением τ = ħ/Г. Это соотношение определяет также время жизни элементарных частиц.
Из определения τ = ħ/Г с учётом равенства Г = 2∆Е следует соотношение неопределённостей для энергии и времени: ∆Е ∙ ∆t ≥ ħ/2, где ∆t ≥ τ. По форме оно аналогично соотношению ∆х ∙ ∆р ≥ ħ/2, однако онтологический статус этого неравенства другой, поскольку в квантовой механике время t не является динамической переменной. Поэтому соотношение ∆Е ∙ ∆t ≥ ħ/2 не следует непосредственно из основных постулатов стационарной квантовой механики и, строго говоря, имеет смысл только для систем, энергия которых меняется во времени. Его физический смысл состоит в том, что за время ∆t энергия системы не может быть измерена точнее, чем величина ∆Е, определяемая соотношением ∆Е ∙ ∆t ≥ ħ/2. Стационарное состояние (ΔЕ→0) существует бесконечно долго (∆t→∞).
Спин, тождественность частиц и обменное взаимодействие. Понятие «спин» утвердилось в физике трудами В. Паули, нидерландского физика Р. Кронига, С. Гаудсмита и Дж. Уленбека (1924-27), хотя экспериментальные свидетельства о его существовании были получены задолго до создания квантовой механики в опытах А. Эйнштейна и В. Й. де Хааза (1915), а также О. Штерна и немецкого физика В. Герлаха (1922). Спин (собственный механический момент частицы) для электрона равен S = ħ/2. Это такая же важная характеристика квантовой частицы, как и заряд и масса, которая, однако, не имеет классической аналогов.
Оператор спина Ŝ = ħσˆ/2, где σˆ= (σˆ х, σˆ у, σˆ z) - двумерные матрицы Паули, определён в пространстве двухкомпонентных собственных функций u = (u + , u -) оператора Ŝ z проекции спина на ось z: σˆ z u = σu, σ=±1/2. Собственный магнитный момент μ частицы с массой m и спином S равен μ = 2μ 0 S, где μ 0 = еħ/2mс - магнетон Бора. Операторы Ŝ 2 и Ŝ z коммутируют с набором Ĥ 0 L 2 и L z операторов атома водорода и вместе они формируют гамильтониан уравнения Паули (1927), решения которого нумеруются набором i = (nlmσ) квантовых чисел собственных значений совокуп̭ност̭и коммутирующих операторов Ĥ 0 , L 2 , L z , Ŝ 2 , Ŝ z . Эти решения описывают самые тонкие особенности наблюдаемых спектров атомов, в частности расщепление спектральных линий в магнитном поле (нормальный и аномальный эффект Зеемана), а также их мультиплетную структуру в результате взаимодействия спина электрона с орбитальным моментом атома (тонкая структура) и спином ядра (сверхтонкая структура).
В 1924, ещё до создания квантовой механики, В. Паули сформулировал принцип запрета: в атоме не может быть двух электронов с одним и тем же набором квантовых чисел i = (nlmσ). Этот принцип позволил понять структуру периодической системы химических элементов и объяснить периодичность изменения их химических свойств при монотонном увеличении заряда их ядер.
Принцип запрета есть частный случай более общего принципа, который устанавливает связь между спином частицы и симметрией её волновой функции. В зависимости от значения спина все элементарные частицы разделяются на два класса: фермионы - частицы с полуцелым спином (электрон, протон, μ-мезон и т.д.) и бозоны - частицы с нулевым или целым спином (фотон, π-мезон, К-мезон и т.д.). В 1940 Паули доказал общую теорему о связи спина со статистикой, из которой следует, что волновые функции любой системы фермионов обладают отрицательной чётностью (меняют знак при их попарной перестановке), а чётность волновой функции системы бозонов всегда положительна. В соответствии с этим существуют два типа распределений частиц по энергиям: распределение Ферми - Дирака и распределение Бозе - Эйнштейна, частным случаем которого является распределение Планка для системы фотонов.
Одно из следствий принципа Паули - существование так называемого обменного взаимодействия, которое проявляется уже в системе двух электронов. В частности, именно это взаимодействие обеспечивает ковалентную химическую связь атомов в молекулах Н 2 , N 2 , О 2 и т. п. Обменное взаимодействие - исключительно квантовый эффект, аналога такого взаимодействия в классической физике нет. Его специфика объясняется тем, что плотность вероятности волновой функции системы двух электронов |ψ(r 1 ,r 2)| 2 содержит не только члены |ψ n (r 1)| 2 |ψ m (r 2)| 2 , где n и m - квантовые состояния электронов обоих атомов, но также «обменные члены» ψ n * (r 1)ψ m * (r 1)ψ n (r 2)ψ m (r 2), возникающие как следствие принципа суперпозиции, который позволяет каждому электрону находиться одновременно в различных квантовых состояниях n и m обоих атомов. Кроме того, в силу принципа Паули, спиновая часть волновой функции молекулы должна быть антисимметричной по отношению к перестановке электронов, т. е. химическая связь атомов в молекуле осуществляется парой электронов с противоположно направленными спинами. Волновая функция сложных молекул может быть представлена как суперпозиция волновых функций, соответствующих различным возможным конфигурациям молекулы (теория резонанса, Л. Полинг, 1928).
Развитые в квантовой механике методы расчёта (метод Хартри - Фока, метод молекулярных орбиталей и др.) позволяют вычислить на современных компьютерах все характеристики устойчивых конфигураций сложных молекул: порядок заполнения электронных оболочек в атоме, равновесные расстояния между атомами в молекулах, энергию и направление химических связей, расположение атомов в пространстве, а также построить потенциальные поверхности, которые определяют направление химических реакций. Такой подход позволяет также вычислить потенциалы межатомных и межмолекулярных взаимодействий, в частности силы Ван дер Ваальса, оценить прочность водородных связей и др. Тем самым проблема химической связи сводится к задаче расчёта квантовых характеристик системы частиц с кулоновским взаимодействием, и с этой точки зрения структурную химию можно рассматривать как один из разделов квантовой механики.
Обменное взаимодействие существенно зависит от вида потенциального взаимодействия между частицами. В частности, в некоторых металлах именно благодаря ему более устойчивым является состояние пар электронов с параллельными спинами, что объясняет явление ферромагнетизма.
Приложения квантовой механики. Квантовая механика - теоретический базис квантовой физики. Она позволила понять строение электронных оболочек атомов и закономерности в их спектрах излучения, структуру ядер и законы их радиоактивного распада, происхождение химических элементов и эволюцию звёзд, включая взрывы новых и сверхновых звёзд, а также источник энергии Солнца. Квантовая механика объяснила смысл периодической системы элементов, природу химической связи и строение кристаллов, теплоёмкость и магнитные свойства веществ, явления сверхпроводимости и сверхтекучести и др. Квантовая механика - физическая основа многочисленных технических приложений: спектрального анализа, лазера, транзистора и компьютера, ядерного реактора и атомной бомбы и т. д.
Свойства металлов, диэлектриков, полупроводников и других веществ в рамках квантовой механики также получают естественное объяснение. В кристаллах атомы совершают около положений равновесия малые колебания с частотой ω, которым сопоставляются кванты колебаний кристаллической решётки и соответствующие им квази-частицы - фононы с энергией Е = ħω. Теплоёмкость кристалла в значительной степени определяется теплоёмкостью газа его фононов, а его теплопроводность можно трактовать как теплопроводность фононного газа. В металлах электроны проводимости представляют собой газ фермионов, а их рассеяние на фононах является основной причиной электрического сопротивления проводников, а также объясняет подобие тепловых и электрических свойств металлов (смотри Видемана - Франца закон). В магнитоупорядоченных структурах возникают квазичастицы - магноны, которым соответствуют спиновые волны, в квантовых жидкостях возникают кванты вращательного возбуждения - ротоны, а магнитные свойства веществ определяются спинами электронов и ядер (смотри Магнетизм). Взаимодействие спинов электронов и ядер с магнитным полем - основа практических приложений явлений электронного парамагнитного и ядерного магнитного резонансов, в частности в медицинских томографах.
Упорядоченная структура кристаллов порождает дополнительную симметрию гамильтониана по отношению к сдвигу х → х + а, где а - период кристаллической решётки. Учёт периодической структуры квантовой системы приводит к расщеплению её энергетического спектра на разрешённые и запрещённые зоны. Такая структура уровней энергии лежит в основе работы транзисторов и всей базирующейся на них электроники (телевизор, компьютер, сотовый телефон и др.). В начале 21 века достигнуты существенные успехи в создании кристаллов с заданными свойствами и структурой энергетических зон (сверхрешётки, фотонные кристаллы и гетероструктуры: квантовые точки, квантовые нити, нанотрубки и др.).
При понижении температуры некоторые вещества переходят в состояние квантовой жидкости, энергия которой при температуре Т → 0 приближается к энергии нулевых колебаний системы. В некоторых металлах при низких температурах образуются куперовские пары - системы из двух электронов с противоположными спинами и импульсами. При этом электронный газ фермионов трансформируется в газ бозонов, что влечёт за собой бозе-конденсацию, которая объясняет явление сверхпроводимости.
При низких температурах длина волны де Бройля тепловых движений атомов становится сравнимой с межатомными расстояниями и возникает корреляция фаз волновых функций многих частиц, что приводит к макроскопическим квантовым эффектам (эффект Джозефсона, квантование магнитного потока, дробный квантовый эффект Холла, андреевское отражение).
На основе квантовых явлений созданы наиболее точные квантовые эталоны различных физических величин: частоты (гелий-неоновый лазер), электрического напряжения (эффект Джозефсона), сопротивления (квантовый эффект Холла) и т.д., а также приборы для различных прецизионных измерений: сквиды, квантовые часы, квантовый гироскоп и т.д.
Квантовая механика возникла как теория для объяснения специфических явлений атомной физики (её вначале так и называли: атомная динамика), но постепенно стало ясно, что квантовая механика образует также основу всей субатомной физики, и все её основные понятия применимы для описания явлений физики ядра и элементарных частиц. Первоначальная квантовая механика была нерелятивистской, то есть описывала движение систем со скоростями много меньшими скорости света. Взаимодействие частиц в этой теории по-прежнему описывалось в классических терминах. В 1928 П. Дирак нашёл релятивистское уравнение квантовой механики (уравнение Дирака), которое при сохранении всех её понятий учитывало требования теории относительности. Кроме того, был развит формализм вторичного квантования, который описывает рождение и уничтожение частиц, в частности рождение и поглощение фотонов в процессах излучения. На этой основе возникла квантовая электродинамика, которая позволила с большой точностью рассчитывать все свойства систем с электромагнитным взаимодействием. В дальнейшем она развилась в квантовую теорию поля, объединяющую в едином формализме частицы и поля, посредством которых они взаимодействуют.
Для описания элементарных частиц и их взаимодействий используются все основные понятия квантовой механики: остаётся справедливым дуализм волна-частица, сохраняется язык операторов и квантовых чисел, вероятностная трактовка наблюдаемых явлений и т.д. В частности, для объяснения взаимопревращения трёх типов нейтрино: v e , ν μ и ν τ (осцилляции нейтрино), а также нейтральных К-мезонов используется принцип суперпозиции состояний.
Интерпретация квантовой механики . Справедливость уравнений и заключений квантовой механики многократно подтверждена многочисленными опытами. Система её понятий, созданная трудами Н. Бора, его учеников и последователей, известная как «копенгагенская интерпретация», является ныне общепринятой, хотя ряд создателей квантовой механики (М. Планк, А. Эйнштейн и Э. Шрёдингер и др.) до конца жизни остались в убеждении, что квантовая механика - незавершённая теория. Специфическая трудность восприятия квантовой механики обусловлена, в частности, тем обстоятельством, что большая часть её основных понятий (волна, частица, наблюдение и т.д.) взяты из классической физики. В квантовой механике их смысл и область применимости ограничены в силу конечности кванта действия h, а это, в свою очередь, потребовало ревизии устоявшихся положений философии познания.
Прежде всего в квантовой механике изменился смысл понятия «наблюдение». В классической физике предполагали, что возмущения изучаемой системы, вызванные процессом измерения, могут быть корректно учтены, после чего можно восстановить исходное состояние системы, независимое от средств наблюдения. В квантовой механике соотношение неопределённостей ставит на этом пути принципиальный предел, который никак не связан с искусством экспериментатора и тонкостью используемых методов наблюдения. Квант действия h определяет границы квантовой механики, подобно скорости света в теории электромагнитных явлений или абсолютному нулю температур в термодинамике.
Причину неприятия соотношения неопределённостей и способ преодоления трудностей восприятия его логических следствий предложил Н. Бор в концепции дополнительности (смотри Дополнительности принцип). Согласно Бору, для полного и адекватного описания квантовых явлений необходима пара дополнительных понятий и соответствующая им пара наблюдаемых. Для измерения этих наблюдаемых необходимы два разных типа приборов с несовместимыми свойствами. Например, для точного измерения координаты нужен стабильный, массивный прибор, а для измерения импульса, наоборот, лёгкий и чувствительный. Оба эти прибора несовместимы, но они дополнительны в том смысле, что обе величины, измеряемые ими, равно необходимы для полной характеристики квантового объекта или явления. Бор объяснил, что «явление» и «наблюдение» - дополнительные понятия и не могут быть определены порознь: процесс наблюдения уже есть некое явление, а без наблюдения явление есть «вещь в себе». В действительности мы всегда имеем дело не с явлением самим по себе, а с результатом наблюдения явления, и результат этот зависит, в том числе от выбора типа прибора, используемого для измерения характеристик квантового объекта. Результаты таких наблюдений квантовая механика объясняет и предсказывает без всякого произвола.
Важное отличие квантовых уравнений от классических состоит также в том, что волновая функция квантовой системы сама не наблюдаема, а все величины, вычисленные с её помощью, имеют вероятностный смысл. Кроме того, понятие вероятности в квантовой механике в корне отличается от привычного понимания вероятности как меры нашего незнания деталей процессов. Вероятность в квантовой механике - это внутреннее свойство индивидуального квантового явления, присущее ему изначально и независимо от измерений, а не способ представления результатов измерений. В соответствии с этим принцип суперпозиции в квантовой механике относится не к вероятностям, а к амплитудам вероятности. Кроме того, в силу вероятностного характера событий суперпозиция квантовых состояний может включать в себя состояния, несовместимые с классической точки зрения, например состояния отражённого и прошедшего фотонов на границе полупрозрачного экрана или альтернативные состояния электрона, проходящего через любую из щелей в знаменитом интерференционном опыте.
Неприятие вероятностной трактовки квантовой механики породило массу попыток модифицировать основные положения квантовой механики. Одна из таких попыток - введение в квантовую механику скрытых параметров, которые изменяются в соответствии со строгими законами причинности, а вероятностный характер описания в квантовой механике возникает как результат усреднения по этим параметрам. Доказательство невозможности введения в квантовую механику скрытых параметров без нарушения системы её постулатов было дано Дж. фон Нейманом ещё в 1929 году. Более детальный анализ системы постулатов квантовой механики был предпринят Дж. Беллом в 1965 году. Экспериментальная проверка так называемых неравенств Белла (1972) ещё раз подтвердила общепринятую схему квантовой механики.
Ныне квантовая механика представляет собой законченную теорию, которая всегда даёт правильные предсказания в границах её применимости. Все известные попытки её модификации (их известно около десяти) не изменили её структуры, но положили начало новым отраслям наук о квантовых явлениях: квантовой электродинамике, квантовой теории поля, теории электрослабого взаимодействия, квантовой хромодинамике, квантовой теории гравитации, теории струн и суперструн и др.
Квантовая механика стоит в ряду таких достижений науки, как классическая механика, учение об электричестве, теория относительности и кинетическая теория. Ни одна физическая теория не объяснила такого широкого круга физических явлений природы: из 94 Нобелевских премий по физике, присуждённых в 20 веке, только 12 не связаны напрямую с квантовой физикой. Значение квантовой механики во всей системе знаний об окружающей природе выходит далеко за рамки учения о квантовых явлениях: она создала язык общения в современной физике, химии и даже биологии, привела к пересмотру философии науки и теории познания, а её технологические следствия до сих пор определяют направление развития современной цивилизации.
Лит.: Нейман И. Математические основы квантовой механики. М., 1964; Давыдов А. С. Квантовая механика. 2-е изд. М., 1973; Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М., 1979; Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 7-е изд. СПб., 2004; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. 5-е изд. М., 2004; Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Квантовая механика. 3-е изд. М., 2004; Пономарев Л. И. Под знаком кванта. 2-е изд. М., 2007; Фок В. А. Начала квантовой механики. 5-е изд. М., 2008.
Представления в физике атомного ядра
Появление квантовой механики.
Квантовая механика – физическая теория, изучающая движение на микроуровне.
Еще в конце XIX века большинство ученых склонялись к точке зрения, что физическая картина мира в основном построена и останется в дальнейшем незыблемой. Предстоит уточнять лишь детали. Но впервые десятилетия XX века физические воззрения изменились коренным образом. Это было следствием «каскада» научных открытий, сделанных в течение чрезвычайно короткого исторического периода, охватывающего последние годы XIX столетия и первые десятилетия XX века.
В 1896 году французский физик Антуан Анри Беккерель (1852-1908) открыл явление самопроизвольного излучения урановой соли.
В его исследование включились французские физики, супруги Пьер Кюри (1859-1906) и Мария Склодовская-Кюри (1867-1934). В 1898 году были открыты новые элементы, также обладающие свойством испускать «беккерелевы лучи», - полоний и радий. Это свойство супруги Кюри назвали радиоактивностью.
А годом раньше, в 1897 году, в лаборатории Кавендиша в Кембридже при изучении электрического разряда в газах (катодных лучей) английский физик Джозеф Джон Томсон (1856-1940) открыл первую элементарную частицу - электрон.
В 1911 году знаменитый английский физик Эрнест Резерфорд (1871-1937) предложил свою модель атома, которая получила название планетарной.
Н. Бор, зная о модели Резерфорда и приняв ее в качестве исходной, разработал в 1913 году квантовую теорию строения атома.
Принципы квантовой механики
Принцип неопределенности Гейзенберга: «Невозможно одновременно с точностью определить координаты и скорость квантовой частицы»
В первой четверти ХХ века именно такова была реакция физиков, когда они стали исследовать поведение материи на атомном и субатомном уровнях.
Принцип Гейзенберга играет в квантовой механике ключевую роль хотя бы потому, что достаточно наглядно объясняет, как и почему микромир отличается от знакомого нам материального мира.
Чтобы отыскать, например, книгу, вы, войдя в комнату, окидываете ее взглядом, пока он не остановится на ней. На языке физики это означает, что вы провели визуальное измерение (нашли взглядом книгу) и получили результат - зафиксировали ее пространственные координаты (определили местоположение книги в комнате).
В начале 1920-х годов, когда произошел бурный всплеск творческой мысли, приведший к созданию квантовой механики, эту проблему первым осознал молодой немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг. Им был сформулирован принцип неопределенности , названный теперь его именем:
Термин «неопределенность пространственной координаты» как раз и означает, что мы не знаем точного местоположения частицы. Например, если вы используете глобальную систему GPS, чтобы определить местоположение книги, система вычислит их с точностью до 2-3 метров. И тут мы подходим к самому принципиальному отличию микромира от нашего повседневного физического мира. В обычном мире, измеряя положение и скорость тела в пространстве, мы на него практически не воздействуем. Таким образом, в идеале мы можем одновременно измерить и скорость, и координаты объекта абсолютно точно (иными словами, с нулевой неопределенностью). Допустим, что нужно зафиксировать пространственное местонахождение электрона. Нам по-прежнему нужен измерительный инструмент, который вступит во взаимодействие с электроном и возвратит детекторам сигнал с информацией о его местопребывании.
Если нам удастся с нулевой погрешностью (абсолютно точно) определить одну из измеряемых величин, неопределенность другой величины будет равняться бесконечности, и о ней мы не будем знать вообще ничего. Иными словами, если бы нам удалось абсолютно точно установить координаты квантовой частицы, о ее скорости мы не имели бы ни малейшего представления; если бы нам удалось точно зафиксировать скорость частицы, мы бы понятия не имели, где она находится.
Принцип неопределенности не мешает нам с любой желаемой точностью измерить каждую из этих величин. Он утверждает лишь, что мы не в состоянии достоверно узнать и то, и другое одновременно.
Ключевым в соотношении Гейзенберга является взаимодействие между частицей-объектом измерения и инструментом измерения, влияющим на его результаты.
Принцип дополнительности Н. Бора: «Объекты микромира описываются и как частицы, и как волны, и одно описание дополняет другое».
В повседневной жизни имеется два способа переноса энергии в пространстве - посредством частиц или волн. Чтобы, скажем, скинуть со стола костяшку домино, балансирующую на его краю, можно придать ей необходимую энергию двумя способами. Во-первых, можно бросить в нее другую костяшку домино (то есть передать точечный импульс с помощью частицы). Во-вторых, можно построить в ряд стоящие костяшки домино, по цепочке ведущие к той, что стоит на краю стола, и уронить первую на вторую: в этом случае импульс передастся по цепочке - вторая костяшка завалит третью, третья четвертую и так далее. Это - волновой принцип передачи энергии. В обыденной жизни между двумя механизмами передачи энергии видимых противоречий не наблюдается. Так, баскетбольный мяч - это частица, а звук - это волна, и всё ясно.
Однако в квантовой механике всё обстоит отнюдь не так просто. Даже из простейших опытов с квантовыми объектами очень скоро становится понятно, что в микромире привычные нам принципы и законы макромира не действуют. Свет, который мы привыкли считать волной, порой ведет себя так, будто состоит из потока частиц (фотонов ), а элементарные частицы, такие как электрон или даже массивный протон, нередко проявляют свойства волны. Если «выстреливать» электроны по одному, каждый из них будет оставлять четкий след на экране - то есть вести себя как частица. Самое интересное, что, то же самое будет, если вместо пучка электронов вы возьмете пучок фотонов: в пучке они будут вести себя как волны, а по отдельности - как частицы
Иными словами, в микромире объекты, которые ведут себя как частицы, при этом как бы «помнят» о своей волновой природе, и наоборот. Это странное свойство объектов микромира получило название квантово-волнового дуализма .
Принцип дополнительности - простая констатация этого факта. Согласно этому принципу, если мы измеряем свойства квантового объекта как частицы, мы видим, что он ведет себя как частица. Если же мы измеряем его волновые свойства, для нас он ведет себя как волна. Оба представления отнюдь не противоречат друг другу - они именно дополняют одно другое, что и отражено в названии принципа.
Строение атома.
Планетарная модель строения атома была предложена в результате открытия ядра атома Резерфордом:
1.В центре атома находится положительно заряженное ядро, занимающее ничтожную часть пространства внутри атома.
2.Весь положительный заряд и почти вся масса атома сосредоточены в его ядре (масса электрона равна 1/1823 а. е. м.).
3.Вокруг ядра по замкнутым орбитам вращаются электроны. Их число равно заряду ядра.
Ядро атома
Ядро атома состоит из протонов и нейтронов (общее название - нуклоны). Оно характеризуется тремя параметрами: А - массовое число, Z - заряд ядра, равный числу протонов, и N - число нейтронов в ядре. Эти параметры связаны между собой соотношением:
А = Z + N.
Число протонов в ядре равно порядковому номеру элемента.
Заряд ядра обычно пишут внизу слева от символа элемента, а массовое число - вверху слева (заряд ядра часто опускают).
Пример 40 18 Ar: ядро этого атома содержит 18 протонов и 22 нейтрона.
Атомы, ядра которых содержат одинаковое число протонов и разное число нейтронов, называются изотопами, например: 12/6С и 13/6С. Изотопы водорда имеют специальные символы и названия: 1 Н - протий, 2 D - дейтерий, 3 Т - тритий. Химические свойства изотопов идентичны, некоторые физические свойства очень незначительно различаются..
Радиоактивность
Радиоактивность - это самопроизвольное, спонтанное превращение неустойчивых атомных ядер в ядра др. элементов, сопровождающееся испусканием частиц. Соответствующие элементы назвали радиоактивными или радионуклеидами.
В 1899 году Э. Резерфорд в результате экспериментов обнаружил, что радиоактивное излучение неоднородно и под действием сильного магнитного поля распадается на две составляющие, a - и b -лучи. Третью составляющую, g -лучи, обнаружил французский физик П. Вилард в 1900 году.
Гамма-лучи вызывают ионизацию атомов вещества. Основные процессы, возникающие при прохождении гамма-излучения через вещество:
Фотоэффект - энергия гамма-луча поглощается электроном оболочки атома, и электрон, совершая работу выхода, покидает атом (который становится ионизированным, т.е. превращается в ион).
Выбивание светом электронов с поверхности токопроводящих материалов - явление, широко используемое сегодня в повседневной жизни. Например, некоторые системы сигнализации работают за счет передачи видимых или инфракрасных световых лучей на фотоэлектрический элемент , из которого выбиваются электроны, обеспечивающие электропроводность цепи, в которую он включен. Если на пути светового луча появляется препятствие, свет на датчик поступать перестает, поток электронов прекращается, цепь разрывается - и срабатывает электронная сигнализация.
Облучение γ-лучами.в зависимости от дозы и продолжительности может вызвать хроническую и острую лучевые болезни. Эффекты облучения включают различные виды онкологических заболеваний. В то же время гамма-облучение подавляет рост раковых и других быстро делящихся клеток. Гамма-излучение является мутагенным и фактором.
Применение гамма- излучения:
Гамма-дефектоскопия, контроль изделий просвечиванием γ-лучами.
Консервирование пищевых продуктов.
Стерилизация медицинских материалов и оборудования.
Лучевая терапия.
Уровнемеры
Гамма-высотометры, измерение расстояния до поверхности при приземлении спускаемых космических аппаратов.
Гамма-стерилизация специй, зерна, рыбы, мяса и других продуктов для увеличения срока хранения.
Виды радиоактивности
Деление атомного ядра бывает спонтанным (самопроизвольным) и вынужденным (в результате взаимодействия с другими частицами, прежде всего, с нейтронами). Деление тяжёлых ядер -экзотермический процесс, в результате которого высвобождается большое количество энергии в виде кинетической энергии продуктов реакции, а также излучения. Деление ядер служит источником энергии в ядерных реакторах и ядерном оружии. Установлено, что радиоактивны все химические элементы СС порядковым номером, большим 82 (то есть начиная с висмута), и некоторые более лёгкие элементы (прометий и технеций не имеют стабильных изотопов, а у некоторых элементов, например индия, калия или кальция, одни природные изотопы стабильны, другие же радиоактивны).
Весной 1913 года Содди сформулировал правило:
Испускание α-частиц уменьшает атомную массу на 4 и смещает его на 2 места влево по ПС.
Испускание β-частиц смещает элемент вправо на 1 место, почти не меняя его массы
Формирование квантовой механики как последовательной теории с конкретными физическими основами во многом связано с работой В.Гейзенберга, в которой было сформулировано соотношение (принцип) неопределенностей . Это фундаментальное положение квантовой механики раскрывает физический смысл ее уравнений, а также определяет ее связь с классической механикой.
Принцип неопределенности постулирует:объект микромира не может находиться в состояниях, в которых координаты его центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определенные, точные значения .
Количественно этот принцип формулируется следующим образом. Если ∆x – неопределенность значения координатыx , а∆p - неопределенность импульса, то произведение этих неопределенностей по порядку величины не может быть меньше постоянной Планка:
∆x ∆ p ≥ h.
Из принципа неопределенности следует, что, чем точнее определена одна из входящих в неравенство величин, тем с меньшей точностью определено значение другой. Никаким экспериментом невозможно одновременно точно измерить эти динамические переменные, причем это связано не с воздействием измерительных приборов или их несовершенством. Соотношение неопределенностей отражает объективные свойства микромира, проистекая из его корпускулярно-волнового дуализма.
То обстоятельство, что один и тот же объект проявляет себя и как частица, и как волна разрушает традиционные представления, лишает описание процессов привычной наглядности. Понятие частицы подразумевает объект, заключенный в малую область пространства, волна же распространяется в его протяженных областях. Представить себе объект, обладающий одновременно этими качествами невозможно, да и не следует пытаться. Невозможно построить наглядную для человеческого мышления модель, которая была бы адекватна микромиру. Уравнения квантовой механики, впрочем, и не ставят такой цели. Их смысл состоит в математически адекватном описании свойств объектов микромира и происходящих с ними процессов.
Если говорить о связи квантовой механики с механикой классической, то соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к объектам микромира . Строго говоря, соотношение неопределенностей распространяется на любую физическую систему, однако, поскольку волновая природа макрообъектов практически не проявляется, координаты и импульс таких объектов можно одновременно измерить с достаточно высокой точностью. Это означает, что для описания их движения вполне достаточно использовать законы классической механики. Вспомним, что аналогичным образом обстоит дело в релятивистской механике (специальной теории относительности): при скоростях движения, значительно меньших скорости света, релятивистские поправки становятся несущественными и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.
Итак, соотношение неопределенностей для координат и импульса отражает корпускулярно-волновой дуализм микромира и не связано с воздействием измерительных приборов . Несколько другой смысл имеет аналогичное соотношение неопределенностей дляэнергии Е ивремени t :
∆E ∆ t ≥ h.
Из него следует, что энергию системы можно измерить лишь с точностью, не превышающей h /∆ t, где ∆ t – длительность измерения.Причина такой неопределенности состоит уже в самом процессе взаимодей ствия системы (микрообъекта) с измерительным прибором . Для стационарной ситуации приведенное неравенство означает, что энергия взаимодействия между измерительным прибором и системой может быть учтена только с точностью доh /∆t . В предельном же случае мгновенного измерения происходящий обмен энергией оказывается полностью неопределенным.
Если под ∆ Е понимается неопределенность значения энергии нестационарного состояния, то тогда∆ t есть характерное время, в течение которого значения физических величин в системе изменяются существенным образом. Отсюда, в частности, следует важный вывод относительно возбужденных состояний атомов и других микросистем: энергия возбужденного уровня не может быть строго определена, что говорит о наличииестественной ширины этого уровня.
Объективные свойства квантовых систем отражает еще одно принципиальное положение квантовой механики – принцип дополнительности Бора , согласно которомуполучение любым экспериментальным путем информации об одних физических величинах, описывающих микрообъект, неизбежно связано с потерей информации о некоторых других величинах, дополнительных к первым .
Взаимно дополнительными являются, в частности, координата частицы и ее импульс (см. выше – принцип неопределенности), кинетическая и потенциальная энергия, напряженность электрического поля и количество фотонов.
Рассмотренные фундаментальные принципы квантовой механики свидетельствуют о том, что, в силу корпускулярно-волнового дуализма изучаемого ею микромира, ей чужд детерминизм классической физики. Полный уход от наглядного моделирования процессов придает особый интерес вопросу о том, какова же физическая природа волн де Бройля. В ответе на этот вопрос принято «отталкиваться» от поведения фотонов. Известно, что при пропускании светового пучка через полупрозрачную пластину S часть света проходит сквозь нее, а часть отражается (рис. 4).
Рис. 4
Что же при этом происходит с отдельными фотонами? Эксперименты со световыми пучками очень малой интенсивности с использованием современной техники (А – детектор фотонов), позволяющей следить за поведением каждого фотона (так называемый режим счета фотонов), показывают, что о расщеплении отдельного фотона не может быть и речи (иначе свет изменял бы свою частоту). Достоверно установлено, что некоторые фотоны проходят сквозь пластину, а некоторые отражаются от нее. Это означает, чтоодинаковые частицы в одинаковых условиях могут вести себя по-разному ,т. е. поведение отдельного фотона при встрече с поверхностью пластины не может быть предсказано однозначно .
Отражение фотона от пластины или прохождение сквозь нее суть случайные события. А количественные закономерности таких событий описываются с помощью теории вероятностей. Фотон может с вероятностью w 1 пройти сквозь пластину и с вероятностьюw 2 отразиться от нее. Вероятность того, что с фотоном произойдет одно из этих двух альтернативных событий, равна сумме вероятностей:w 1 + w 2 = 1.
Аналогичные эксперименты с пучком электронов или других микрочастиц также показывают вероятностный характер поведения отдельных частиц. Таким образом, задачу квантовой механики можно сформулировать как предсказание вероятности процессов в микромире , в отличие от задачи классической механики– предсказывать достоверность событий в макромире .
Известно, однако, что вероятностное описание применяется и в классической статистической физике. Так в чем же принципиальная разница? Для ответа на этот вопрос усложним опыт по отражению света. С помощью зеркала S 2 развернем отраженный пучок, поместив детекторA , регистрирующий фотоны в зоне его пресечения с прошедшим пучком, т. е. обеспечим условия интерференционного эксперимента (рис. 5).
Рис. 5
В результате интерференции интенсивность света в зависимости от расположения зеркала и детектора будет периодически меняться по поперечному сечению области перекрытия пучков в широких пределах (в том числе обращаться в ноль). Как же ведут себя отдельные фотоны в этом опыте? Оказывается, что в этом случае два оптических пути к детектору уже не являются альтернативными (взаимоисключающими) и поэтому нельзя сказать, каким путем прошел фотон от источника к детектору. Приходится допускать, что он мог попасть в детектор одновременно двумя путями, образуя в итоге интерференционную картину. Опыт с другими микрочастицами дает аналогичный результат: последовательно проходящие частицы создают такую же картину, как и поток фотонов.
Вот это уже кардинальное отличие от классических представлений: ведь невозможно представить себе движение частицы одновременно по двум разным путям. Впрочем, такой задачи квантовая механика и не ставит. Она предсказывает результат, состоящий в том, что светлым полосам соответствует высокая вероятность появления фотона.
Волновая оптика легко объясняет результат интерференционного опыта с помощью принципа суперпозиции, в соответствии с которым световые волны складываются с учетом соотношения их фаз. Иными словами, волны вначале складываются по амплитуде с учетом разности фаз, образуется периодическое распределение амплитуды, а затем уже детектор регистрирует соответствующую интенсивность (что соответствует математической операции возведения в квадрат по модулю, т. е. происходит потеря информации о распределении фазы). При этом распределение интенсивности носит периодический характер:
I = I 1 + I 2 + 2 A 1 A 2 cos (φ 1 – φ 2 ),
где А , φ , I = | A | 2 –амплитуда ,фаза иинтенсивность волн соответственно, а индексы 1, 2 указывают на их принадлежность к первой или второй из этих волн. Ясно, что приА 1 = А 2 иcos (φ 1 – φ 2 ) = – 1 значение интенсивностиI = 0 , что соответствует взаимному гашению световых волн (при их суперпозиции и взаимодействии по амплитуде).
Для интерпретации волновых явлений с корпускулярной точки зрения принцип суперпозиции переносится в квантовую механику, т. е. вводится понятие амплитуды вероятности – по аналогии с оптическими волнами:Ψ = А exp ( iφ ). При этом имеется в виду, что вероятность есть квадрат этой величины (по модулю) т. е.W = |Ψ| 2 .Амплитуда вероятности называется в квантовой механикеволновой функцией . Это понятие ввел в 1926 г. немецкий физик М. Борн, дав тем самымвероятностную интерпретацию волн де Бройля. Удовлетворение принципу суперпозиции означает, что еслиΨ 1 и Ψ 2 – амплитуды вероятности прохождения частицы первым и вторым путями, то амплитуда вероятности при прохождении обоих путей должна быть:Ψ = Ψ 1 + Ψ 2 . Тогда формально утверждение о том, что «частица прошла двумя путями», приобретает волновой смысл, а вероятностьW = |Ψ 1 + Ψ 2 | 2 проявляет свойствоинтерференционного распределения .
Таким образом, величиной, описывающей состояние физической системы в квантовой механике, является волновая функция системы в предположении о справедливости принципа суперпозиции . Относительно волновой функции и записано основное уравнение волновой механики – уравнение Шрёдингера. Поэтому одна из основных задач квантовой механики состоит в нахождении волновой функции, отвечающей данному состоянию исследуемой системы.
Существенно, что описание состояния частицы с помощью волновой функции носит вероятностный характер, поскольку квадрат модуля волновой функции определяет вероятность нахождения частицы в данный момент времени в определенном ограниченном объеме . Этим квантовая теория фундаментально отличается от классической физики с ее детерминизмом.
В свое время именно высокой точности предсказания поведения макрообъектов была обязана своим триумфальным шествием классическая механика. Естественно, в среде ученых долгое время бытовало мнение, что прогресс физики и науки вообще будет неотъемлемо связан с возрастанием точности и достоверности такого рода предсказаний. Принцип неопределенности и вероятностный характер описания микросистем в квантовой механике коренным образом изменили эту точку зрения.
Тогда стали появляться другие крайности. Поскольку из принципа неопределенности следует невозможность одновременного определения координаты и импульса , можно сделать вывод о том, что состояние системы в начальный момент времени точно не определено и, следовательно, не могут быть предсказаны последующие состояния, т. е. нарушаетсяпринцип причинности .
Однако подобное утверждение возможно только при классическом взгляде на неклассическую реальность. В квантовой механике состояние частицы полностью определяется волновой функцией. Ее значение, заданное для определенного момента времени, определяет последующие ее значения. Поскольку причинность выступает как одно из проявлений детерминизма, целесообразно в случае квантовой механики говорить о вероятностном детерминизме, опирающемся на статистические законы, т. е. обеспечивающем тем более высокую точность, чем больше зафиксировано однотипных событий. Поэтому современная концепция детерминизма предполагает органическое сочетание, диалектическое единство необходимости ислучайности .
Развитие квантовой механики оказало, таким образом, заметное влияние на прогресс философской мысли. С гносеологической точки зрения особый интерес представляет уже упоминавшийся принцип соответствия , сформулированный Н. Бором в 1923 г., согласно которомувсякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применимости и переходя в нее в определенных предельных случаях .
Нетрудно убедиться, что принцип соответствия прекрасно иллюстрирует взаимоотношение классической механики и электродинамики с теорией относительности и квантовой механикой.
