Экспоненту обозначают так ,
или .
Число e
Основанием степени экспоненты является число e
. Это иррациональное число. Оно примерно равно
е
≈ 2,718281828459045...
Число e
определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел
:
.
Также число e
можно представить в виде ряда:
.
График экспоненты
График экспоненты, y = e x .На графике представлена экспонента, е
в степени х
.
y(x)
= е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.
Формулы
Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .
;
;
;
Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a
через экспоненту:
.
Частные значения
Пусть y(x)
= e x
.
Тогда
.
Свойства экспоненты
Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .
Область определения, множество значений
Экспонента y(x)
= e x
определена для всех x
.
Ее область определения:
- ∞ < x + ∞
.
Ее множество значений:
0
< y < + ∞
.
Экстремумы, возрастание, убывание
Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
Обратная функция
Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.
Производная экспоненты
Производная е
в степени х
равна е
в степени х
:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Комплексные числа
Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера
:
,
где есть мнимая единица:
.
Выражения через гиперболические функции
;
;
.
Выражения через тригонометрические функции
;
;
;
.
Разложение в степенной ряд
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Степень
Число c {\displaystyle c} называется n -й степенью числа a {\displaystyle a} , если
c = a ⋅ a ⋅ . . . ⋅ a ⏟ n {\displaystyle c=\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{n}} .Свойства:
- (a b) n = a n b n {\displaystyle \left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}}
- (a b) n = a n b n {\displaystyle \left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \over {b^{n}}}}
- a n a m = a n + m {\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m}}
- a n a m = a n − m {\displaystyle \left.{a^{n} \over {a^{m}}}\right.=a^{n-m}}
- (a n) m = a n m {\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}}
- запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности (a n) m ≠ a (n m) {\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}} , результат будет зависеть от последовательности действий, например, (2 2) 3 = 4 3 = 64 {\displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64} , а 2 (2 3) = 2 8 = 256 {\displaystyle 2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256} . Принято считать запись a n m {\displaystyle a^{n^{m}}} равнозначной a (n m) {\displaystyle a^{\left({n^{m}}\right)}} , а вместо (a n) m {\displaystyle (a^{n})^{m}} можно писать просто a n m {\displaystyle a^{nm}} , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения (см. );
- возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности) : вообще говоря, a b ≠ b a {\displaystyle a^{b}\neq b^{a}} , например, 2 5 = 32 {\displaystyle 2^{5}=32} , но 5 2 = 25 {\displaystyle 5^{2}=25} .
Вещественная степень
Пусть a ⩾ 0 , r {\displaystyle a\geqslant 0,r} - вещественные числа, причём r {\displaystyle r} - иррациональное число . Определим значение следующим образом.
Как известно, любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для r {\displaystyle r} рациональный интервал [ p , q ] {\displaystyle } с любой степенью точности. Тогда общая часть всех соответствующих интервалов [ a p , a q ] {\displaystyle } состоит из одной точки, которая и принимается за a r {\displaystyle a^{r}} .
Другой подход основан на теории рядов и логарифмов (см. ).
Потенцирование
Комплексная степень
Сначала покажем, как вычисляется экспонента e z {\displaystyle e^{z}} , где e - число Эйлера , z - произвольное комплексное число , z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} .
e z = e x e y i = e x (cos y + i sin y) = e x cos y + i e x sin y . {\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y.}Теперь рассмотрим общий случай , где a , b {\displaystyle a,b} оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив a {\displaystyle a} в экспоненциальной форме и используя тождество a b = e b Ln (a) {\displaystyle a^{b}=e^{b\ \operatorname {Ln} (a)}} , где Ln {\displaystyle \operatorname {Ln} } - комплексный логарифм :
a b = (r e θ i) b = (e Ln (r) + θ i) b = e (Ln (r) + θ i) b . {\displaystyle a^{b}=(re^{{\theta }i})^{b}=(e^{\operatorname {Ln} (r)+{\theta }i})^{b}=e^{(\operatorname {Ln} (r)+{\theta }i)b}.}Следует иметь в виду, что комплексный логарифм - многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.
Степень как функция
Поскольку в выражении используются два символа ( x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций:
Полезные формулы
X y = a y log a x {\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x}} x y = e y ln x {\displaystyle x^{y}=e^{y\ln x}} x y = 10 y lg x {\displaystyle x^{y}=10^{y\lg x}}
Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции x y {\displaystyle x^{y}} .
Употребление в устной речи
Запись a n {\displaystyle a^{n}} обычно читается как «a в n {\displaystyle n} -ой степени» или «a в степени n ». Например, 10 4 {\displaystyle 10^{4}} читается как «десять в четвёртой степени», 10 3 / 2 {\displaystyle 10^{3/2}} читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».
Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, 10 2 {\displaystyle 10^{2}} читается как «десять в квадрате», 10 3 {\displaystyle 10^{3}} читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики . Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры (англ.) русск. . В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади a 3 {\displaystyle a^{3}} - это «a умноженное само на себя три раза» , имея в виду, что берётся три множителя a {\displaystyle a} . Это не совсем точно, и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: a 3 = a ⋅ a ⋅ a {\displaystyle a^{3}=a\cdot a\cdot a} (три множителя, но две операции умножения). Часто когда говорят, « изображалось как и x I V {\displaystyle x^{IV}} соответственно . Начиная с Декарта , степень обозначали «двухэтажной» записью вида a b {\displaystyle a^{b}} .
С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки .
Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах.
Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.
Число c является n -ной степенью числа a когда:
Операции со степенями.
1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:
a m ·a n = a m + n .
2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:
(a/b) n = a n /b n .
5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:
(a m) n = a m n .
Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.
Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .
Операции с корнями.
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:
3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:
5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:
Формулу a m :a n =a m - n можно использовать не только при m > n , но и при m < n .
Например . a 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .
Чтобы формула a m :a n =a m - n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.
Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .
На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.
Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.
Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n /a m = a n — m
Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.
Примеры показательных уравнений:
В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.
Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0
Теперь разберем как решаются показательные уравнения?
Возьмем простое уравнение:
2 х = 2 3
Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:
2 х = 2 3
х = 3
Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.
Теперь подведем итоги нашего решения.
Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые
ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем
степени и решаем полученное новое уравнение.
Теперь прорешаем несколько примеров:
Начнем с простого.
Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.
x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2
В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.
3 3х — 9 х+8 = 0
Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:
Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .
3 3х = (3 2) х+8
Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16
3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.
3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.
Смотрим следующий пример:
2 2х+4 — 10 4 х = 2 4
В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .
4 х = (2 2) х = 2 2х
И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:
2 2х+4 = 2 2х 2 4
Добавляем в уравнение:
2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24
Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:
2 2х (2 4 — 10) = 24
Посчитаем выражение в скобках:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Все уравнение делим на 6:
Представим 4=2 2:
2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.
Решим уравнение:
9 х – 12*3 х +27= 0
Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х
Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0
Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:
Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2
Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:
t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3
Возвращаемся к переменной x .
Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х
Стало быть,
3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2
Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.
На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.
Вступайте в группу
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 7-11 КЛАССОВ.
Уважаемые родители! Если Вы ищите репетитора по математике для Вашего ребёнка, то это объявление для Вас. Предлагаю скайп-репетиторство: подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, ликвидация пробелов в знаниях. Ваши выгоды очевидны:
1) Ваш ребенок находится дома, и Вы можете быть за него спокойны;
2) Занятия проходят в удобное для ребенка время, и Вы даже можете присутствовать на этих занятиях. Объясняю я просто и доступно на всем привычной школьной доске.
3) Другие важные преимущества скайп-занятий додумаете сами!
- Произведение n сомножителей, каждый из которых равен а называется n -й степенью числа а и обозначается а n .
- Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени. Так, а n – степень, а – основание степени, n – показатель степени.
- а 0 =1
- а 1 =а
- a m ∙ a n = a m + n
- a m : a n = a m — n
- (a m ) n = a mn
- (a∙b) n =a n ∙b n
- (a / b ) n = a n / b n При возведении в степень дроби возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
- (- n ) -й степенью (n – натуральное) числа а , не равного нулю, считается число, обратноеn -й степени числа а , т.е. a — n =1/ a n . (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
- (a / b ) — n =(b / a ) n
- Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степеней с любым показателем.
Очень большие и очень малые числа принято записывать в стандартном виде: a ∙10 n , где 1≤а<10 и n (натуральное или целое) – есть порядок числа, записанного в стандартном виде.
- Выражения, которые составлены из чисел, переменных и их степеней, при помощи действия умножения называются одночленами.
- Такой вид одночлена, когда на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент), а за ним переменные с их степенями, называют стандартным видом одночлена. Сумму показателей степеней всех переменных, входящих в состав одночлена, называют степенью одночлена.
- Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными одночленами.
- Сумма одночленов называется многочленом. Одночлены, из которых составлен многочлен, называются членами многочлена.
- Двучлен – это многочлен, состоящий из двух членов (одночленов).
- Трехчлен – это многочлен, состоящий из трех членов (одночленов).
- Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
- Многочлен стандартного вида не содержит подобных членов и записан в порядке убывания степеней его членов.
- Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
- Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители.
- Вынесение общего множителя за скобки – простейший способ разложения многочлена на множители.
- Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и записать полученные произведения в виде суммы одночленов. При необходимости привести подобные слагаемые.
- (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
- (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
- a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.
- (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
- (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3 Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.
- a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2) Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.
- (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Квадрат суммы трех выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс всевозможные удвоенные попарные произведения самих выражений.
- Справка. Полный квадрат суммы двух выражений: a 2 + 2ab + b 2
Неполный квадрат суммы двух выражений: a 2 + ab + b 2
Функцию вида y=x 2 называют квадратной функцией. Графиком квадратной функции является парабола с вершиной в начале координат. Ветви параболы y=x² направлены вверх.
Функцию вида y=x 3 называют кубической функцией. Графиком кубической функции является кубическая парабола, проходящая через начало координат. Ветви кубической параболы y=x³ находятся в I и III четвертях.
Четная функция.
Функция f называется четной, если вместе с каждым значением переменной х -х f (- x )= f (x ). График четной функции симметричен относительно оси ординат (Оy). Функция y=x 2 – четная.
Нечетная функция.
Функция f называется нечетной, если вместе с каждым значением переменной х из области определения функции значение (-х ) также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство:f (- x )=- f (x ) . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Функция y=x 3 – нечетная.
Квадратное уравнение.
Определение. Уравнение вида ax 2 +bx+c=0 , где a, b и c – любые действительные числа, причем а≠0, х – переменная, называется квадратным уравнением.
a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.
Решение неполных квадратных уравнений.
- ax 2 =0 – неполное квадратное уравнение (b=0, c=0 ). Решение: х=0. Ответ: 0.
- ax 2 +bx=0 – неполное квадратное уравнение (с=0 ). Решение: x (ax+b)=0 → x 1 =0 или ax+b=0 → x 2 =-b/a. Ответ: 0; -b/a.
- ax 2 +c=0 – неполное квадратное уравнение (b=0 ); Решение: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.
Если (-c/a)<0 , то действительных корней нет. Если (-с/а)>0
- ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида
Дискриминант D=b 2 — 4ac.
Если D>0 , то имеем два действительных корня:
Если D=0 , то имеем единственный корень (или два равных корня) х=-b/(2a) .
Если D<0, то действительных корней нет.
- ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при четном втором
Коэффициенте b
- ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии: a-b+c=0.
Первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус с , деленному на а :
x 1 =-1, x 2 =-c/a.
- ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии : a+b+c=0 .
Первый корень всегда равен единице, а второй корень равен с , деленному на а :
x 1 =1, x 2 =c/a .
Решение приведенных квадратных уравнений.
- x 2 +px+q=0 – приведенное квадратное уравнение (первый коэффициент равен единице).
Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
ax 2 +bx+c=a·(x-x 1)(x-x 2) , где x 1, x 2 - корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.
Функция натурального аргумента называется числовой последовательностью, а числа, образующие последовательность — членами последовательности.
Числовую последовательность можно задать следующими способами: словесным, аналитическим, рекуррентным, графическим.
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом d , называют арифметической прогрессией. Число d называют разностью арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии {a n } , т. е. в арифметической прогрессии с членами: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , …, a n-1 , a n , … по определению: a 2 =a 1 +d ; a 3 =a 2 +d ; a 4 =a 3 +d ; a 5 =a 4 +d ; …; a n =a n-1 +d ; …
Формула n-го члена арифметической прогрессии.
a n =a 1 +(n-1) d.
Свойства арифметической прогрессии.
- Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:
a n =(a n-1 +a n+1):2;
- Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому равноотстоящих от него членов:
a n =(a n-k +a n+k):2.
Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии.
1) S n = (a 1 +a n)∙n/2; 2) S n =(2a 1 +(n-1) d)∙n/2
Геометрическая прогрессия.
Определение геометрической прогрессии.
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же для данной последовательности число q , называют геометрической прогрессией прогрессией. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии {b n }, т. е. в геометрической прогрессии b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , … , b n , … по определению: b 2 =b 1 ∙q; b 3 =b 2 ∙q; b 4 =b 3 ∙q; … ; b n =b n -1 ∙q.
Формула n-го члена геометрической прогрессии.
b n =b 1 ∙q n -1 .
Свойства геометрической прогрессии.
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии .
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби , в числителе которой разность между всем числом после запятой и числом после запятой до периода дроби, а знаменатель состоит из «девяток» и «нулей», причем, «девяток» столько, сколько цифр в периоде, а «нулей» столько, сколько цифр после запятой до периода дроби. Пример:
Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника.
(α+β=90°)
Имеем: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgβ=ctgα; ctgβ=tgα. Так как β=90°-α, то
sin (90°-α)=cosα; cos (90°-α)=sinα;
tg (90°-α)=ctgα; ctg (90°-α)=tgα.
Кофункции углов, дополняющих друг друга до 90°, равны между собой.
Формулы сложения.
9) sin (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;
10) sin (α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;
11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;
12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;
Формулы двойного и тройного аргументов.
17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;
19) 1+cos2α=2cos 2 α; 20) 1-cos2α=2sin 2 α
21) sin3α=3sinα-4sin 3 α; 22) cos3α=4cos 3 α-3cosα;
Формулы преобразования суммы (разности) в произведение.
Формулы преобразования произведения в сумму (разность).
Формулы половинного аргумента.
Синус и косинус любого угла.
Четность (нечетность) тригонометрических функций.
Из тригонометрических функций четная только одна: y=cosx, остальные три – нечетные, т. е. cos (-α)=cosα;
sin (-α)=-sinα; tg (-α)=-tgα; ctg (-α)=-ctgα.
Знаки тригонометрических функций по координатным четвертям.
Значения тригонометрических функций некоторых углов.
Радианы.
1) 1 радиан – величина центрального угла, опирающегося на дугу, длина которой равна радиусу данной окружности. 1 рад.≈57°.
2) Перевод градусной меры угла в радианную .
3) Перевод радианной меры угла в градусную.
Формулы приведения.
Мнемоническое правило:
1. Перед приведенной функцией ставят знак приводимой.
2. Если в записи аргумента π/2 (90°) взято нечетное число раз, то функцию меняют на кофункцию.
Обратные тригонометрические функции.
Арксинусом числа а (arcsin a) называется угол из промежутка [-π/2; π/2 ], синус которого равен а.
arcsin (- a )=- arcsin a .
Арккосинусом числа а (arccos a) называется угол из промежутка , косинус которого равен а.
arccos (-a)= π – arccosa.
Арктангенсом числа а (arctg a) называется угол из промежутка (-π/2; π/2), тангенс которого равен а.
arctg (- a )=- arctg a .
Арккотангенсом числа а (arcctg a) называется угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен а.
arcctg (-a)= π – arcctg a.
Решение простейших тригонометрических уравнений.
Общие формулы.
1)
sin t=a, 0
2)
sin t = — a, 0
3)
cos t=a, 0
4)
cos t =-a, 0
5)
tg t =a, a>0, тогда t=arctg a + πn, nϵZ; 6)
tg t =-a, a>0, тогда t= — arctg a + πn, nϵZ; 7)
ctg t=a, a>0, тогда t=arcctg a + πn, nϵZ; 8)
ctg t= -a, a>0, тогда t=π – arcctg a + πn, nϵZ. Частные формулы.
1)
sin t =0, тогда t=πn, nϵZ; 2)
sin t=1, тогда t= π/2 +2πn, nϵZ; 3)
sin t= -1, тогда t= — π/2 +2πn, nϵZ; 4)
cos t=0, тогда t= π/2+ πn, nϵZ; 5)
cos t=1, тогда t=2πn, nϵZ; 6)
cos t=1, тогда t=π +2πn, nϵZ; 7)
tg t =0, тогда t = πn, nϵZ; 8)
ctg t=0, тогда t = π/2+πn, nϵZ. Решение простейших тригонометрических неравенств.
1)
sint
2)
sint>a (|a|<1), arcsina+2πn 3)
cost
4)
cost>a (|a|<1), -arccosa+2πn 5)
tgt
6)
tgt>a, arctga+πn 7)
ctgt
8)
ctgt>a, πn Прямая на плоскости.
через точку М(х 1 ; у 1), имеет вид: у-у 1 =k (х-х 1). Уравнение окружности.
Пределы.
Преобразование (конструирование) графиков функций.
Периодическая функция.
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке: Справедливы все свойства степенной функции
: Логарифмом числа b
по основанию а
(log a b
) называют показатель степени, в которую нужно возвести число а
, чтобы получить число b
. log a b
=
n
, если a n
=
b
. Примеры:
1) log 2 8=3
, т. к. 2 3 =8; 2) log 5 (1/25)=-2
, т. к. 5 -2 =1/5 2 =1/25; 3) log 7 1=0
, т. к. 7 0 =1. Под знаком логарифма
могут быть только положительные числа
, причем, основание логарифма — число а≠1
. Значением логарифма может быть любое число. Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n
), то, возводя в эту степень число а
, получим число b
. Логарифм по основанию 10
называют десятичным логарифмом и при написании опускают основание 10 и букву «о» в написании слова «log». lg
7
=log 10 7,lg
7
– десятичный логарифм числа 7. Логарифм по основанию е
(Неперово число е≈2,7) называют натуральным логарифмом. ln7
=log e 7, ln
7
– натуральный логарифм числа 7. Свойства логарифмов
справедливы для логарифмов по любому основанию. log a
1=0
Логарифм единицы равен нулю (a>0, a≠1). log a a
=1
Логарифм числа а
по основанию а
равен единице (a>0, a≠1). log a (x∙y)=log a x+log a y
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей. log a
(x
/
y
)=
log a x
—
log a y
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя. log a b=log c b/log c a
Логарифм числа b
по основанию а
равен логарифму числа b
по новому основанию с
, деленному на логарифм старого основания а
по новому основанию с
. log a b k
=
k
∙
log a b
Логарифм степени (b k
) равен произведению показателя степени (k
) на логарифм основания (b
) этой степени. log a n b
=(1/
n
)∙
log a b
Логарифм числаb
по основанию a n
равен произведению дроби 1/
n
на логарифм числа b
по основанию a
. log a n b k
=(k
/
n
)∙
log a b
Формула является комбинацией двух предыдущих формул. log a r b r =log a b
или log a b
=
log a r b r
Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень. 1)
(∫f (x) dx)"=f (x); 2)
d∫f (x) dx=f (x) dx; 3)
∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx; 4)
∫dF (x) dx=F (x)+C или ∫F"(x) dx=F (x)+C; 5)
∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx; 6)
∫f (kx+b) dx=(1/k)·F (kx+b)+C. Таблица интегралов.
Объем тела вращения.
Дорогие гости моего сайта, все основные формулы математики 7-11
вы можете получить (совершенно бесплатно), кликнув по ссылке. Всего там 431 формула и по алгебре и по геометрии. Полученный pdf файл советую распечатать в виде книжечки. Как это сделать - Успешной вам учебы, друзья!